Exercício 7.2 · Exame Nacional Matemática B 1.ª fase 2022

7. A calçada portuguesa é uma forma de arte urbana em que os motivos geométricos são muito utilizados.

A fotografia da Figura 3 mostra parte do pavimento de um passeio em calçada portuguesa, cujo desenho é obtido a partir de uma composição de semicircunferências. Estas têm raios iguais e encontram-se dispostas em colunas, como sugere o esquema da Figura 4.

No esquema da Figura 4:

em cada coluna, estão representadas uma semicircunferência e metade de outra semicircunferência, tangentes entre si, com os centros assinalados e alguns raios representados a traço interrompido;

a semicircunferência que pertence a uma dada coluna, exceto a primeira, tem um dos seus pontos extremos sobre o ponto médio da semicircunferência da coluna imediatamente à esquerda.

Admita que o raio de cada semicircunferência do pavimento mede $20\text{ cm}$.

7.2. Num dos motivos utilizados no pavimento, esquematizado na Figura 5, fixou-se um referencial ortogonal e monométrico, $Oxy$, como se representa na Figura 6.

Nesta figura:

o ponto $P$ é um dos extremos do diâmetro da semicircunferência;

o centro da semicircunferência pertence ao semieixo positivo $Ox$;

o ponto $O$ é o ponto de tangência de dois arcos contidos nas duas semicircunferências cujos centros pertencem ao eixo $Oy$.

No referencial, a unidade é o centímetro.

Seja $Q$ o transformado do ponto $P$ pela rotação de centro no ponto $O$ e de amplitude $-585^\circ$.

Determine as coordenadas exatas do ponto $Q$.

Na sua resposta, comece por indicar as coordenadas do ponto $P$.

1.

$($ $,$ $)$

2.

$($ $,$ $)$