Aufgabe MMS 2: Aufgabe 2 b, d - Differentialrechnung · Abitur NRW Mathematik LK · Teil B · Analysis (CAS) 2025

2

Betrachtet wird nun die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $r: x \mapsto \frac{1}{16}x^2 \cdot \mathrm{e}^{-0{,}25x+1}$. Somit ist $r$ die Funktion $f_{0{,}25}$ der Schar aus Aufgabe 1. Ihr Graph wird mit $G$ bezeichnet.

Die Konstruktion einer Wasserrutsche, die aus einer Rutschbahn und einem horizontalen Startpodest besteht, wird geplant. Dabei beschreibt $G$ für $-4 \leq x \leq 10$ die Profillinie der Rutschbahn und die $x$-Achse den horizontalen Boden sowie die Wasseroberfläche (vgl. Abbildung 1). Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht dabei $1\text{ m}$ in der Realität.

b

Betrachtet wird der Winkel $\beta$, der im Sachzusammenhang von Bedeutung ist. Mithilfe der folgenden beiden Gleichungen kann die Größe des Winkels $\beta$ ermittelt werden:

$$r'(-4) = \tan(\alpha), \quad \alpha \in ]-90^\circ; 0^\circ[$$$$\beta = 180^\circ - |\alpha|$$

Zeichnen Sie die Winkel $\alpha$ und $\beta$ in Abbildung 1 geeignet ein und geben Sie die Bedeutung von $\beta$ im Sachzusammenhang an.

d

In der folgenden Untersuchung wird erneut nur die Profillinie der Rutschbahn betrachtet.

Um die Sicherheit der Badegäste zu erhöhen, soll eine in alle Richtungen drehbare Überwachungskamera angebracht werden, deren Position im Modell durch den Punkt $(12 \mid 3)$ beschrieben wird. Die Sichtlinie der Kamera in Richtung eines Punktes der Rutschbahn, der durch $(a \mid r(a))$ mit $-4 \le a \le 10$ dargestellt wird, kann durch die Gerade $g_a$ mit der Gleichung$$y = \frac{3-r(a)}{12-a} \cdot x + \left(3 - \frac{3-r(a)}{12-a} \cdot 12\right)$$beschrieben werden.

Untersuchen Sie rechnerisch, ob der Teil der Rutschbahn, der durch den rechtsgekrümmten Teil von $G$ dargestellt wird, von der Kamera vollständig einsehbar ist.