Abitur NRW Mathematik 2025 · LK · Teil B · Analysis (WTR)

Betrachtet wird die Schar der in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen

$$f_a: x \mapsto \frac{1}{3}x^3 - ax + 2a \quad \text{mit } a \in \mathbb{R}\text{.}$$

Abbildung 1 zeigt einen Graphen der Schar.

Betrachtet wird im Folgenden die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f: x \mapsto \frac{1}{3}x^3 - 2x + 4$. Die Funktion $f$ entspricht der Funktion $f_2$ der Schar, Abbildung 1 zeigt somit den Graphen $G_f$ von $f$. Dieser ist symmetrisch bezüglich des Punkts $(0 \mid 4)$.

Die Tangente an $G_f$ im Punkt $P(3 \mid f(3))$ wird mit $t$ bezeichnet; $y = 7x - 14$ ist eine Gleichung von $t$.

a)

Der abgebildete Graph verläuft durch den Punkt $(0|4)$. Begründen Sie, dass es sich um den Graphen von $f_2$ handelt.

Betrachtet wird die Schar der in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen

$$f_a: x \mapsto \frac{1}{3}x^3 - ax + 2a \quad \text{mit } a \in \mathbb{R}\text{.}$$

Abbildung 1 zeigt einen Graphen der Schar.

Betrachtet wird im Folgenden die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f: x \mapsto \frac{1}{3}x^3 - 2x + 4$. Die Funktion $f$ entspricht der Funktion $f_2$ der Schar, Abbildung 1 zeigt somit den Graphen $G_f$ von $f$. Dieser ist symmetrisch bezüglich des Punkts $(0 \mid 4)$.

Die Tangente an $G_f$ im Punkt $P(3 \mid f(3))$ wird mit $t$ bezeichnet; $y = 7x - 14$ ist eine Gleichung von $t$.

b)

Zeigen Sie rechnerisch, dass jeder Graph der Schar genau einen Wendepunkt besitzt, und geben Sie dessen Koordinaten an.

$W($

$\mid$

$)$

d)

Zeigen Sie rechnerisch anhand geeigneter Termumformungen, dass $f(x)-(7x-14)=\frac{1}{3}\cdot (x-3)^2\cdot (x+6)$ für alle $x \in \mathbb{R}$ gilt.

Begründen Sie mithilfe dieses Zusammenhangs, dass $t$ und $G_f$ neben $P$ genau einen weiteren gemeinsamen Punkt besitzen.

$x =$

Betrachtet wird die Schar der in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen

$$f_a: x \mapsto \frac{1}{3}x^3 - ax + 2a \quad \text{mit } a \in \mathbb{R}\text{.}$$

Abbildung 1 zeigt einen Graphen der Schar.

Betrachtet wird im Folgenden die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f: x \mapsto \frac{1}{3}x^3 - 2x + 4$. Die Funktion $f$ entspricht der Funktion $f_2$ der Schar, Abbildung 1 zeigt somit den Graphen $G_f$ von $f$. Dieser ist symmetrisch bezüglich des Punkts $(0 \mid 4)$.

Die Tangente an $G_f$ im Punkt $P(3 \mid f(3))$ wird mit $t$ bezeichnet; $y = 7x - 14$ ist eine Gleichung von $t$.

c)

Bestimmen Sie denjenigen Wert von $a$, für den $\int_0^2 f_a(x)\,\mathrm{d}x = 0$ gilt.

$a =$

e)

Betrachtet wird die Gleichung $\int_k^{k+1} f(x)\,\mathrm{d}x = 4$ mit $k \in \mathbb{R}$.

Für $-1{,}5 \le k \le 1{,}5$ besitzt diese Gleichung genau eine Lösung. Untersuchen Sie grafisch mithilfe von Abbildung 1, wie viele Lösungen diese Gleichung für $k \ge 1{,}5$ besitzt.

2

Die Länge einer Fahrstrecke, die ein Elektroauto mit vollständig geladener Batterie ohne erneutes Aufladen unter bestimmten Bedingungen zurücklegen kann, wird als Nennreichweite des Elektroautos bezeichnet und ist für jedes Elektroauto ein fester Wert. Die tatsächliche Reichweite hängt von vielen Faktoren ab; im Folgenden wird ausschließlich die Abhängigkeit von der Außentemperatur betrachtet.

Diese Abhängigkeit kann für eine Vielzahl von Elektroautos modellhaft im Intervall $[-12;36]$ durch eine Funktion $r$ beschrieben werden. Dabei ist $x$ die Außentemperatur in $^\circ\text{C}$ und $r(x)$ der Quotient aus der tatsächlichen Reichweite eines Elektroautos und dessen Nennreichweite. Abbildung 2 zeigt den Graphen der Funktion $r$.

Hat also $r$ beispielsweise für eine bestimmte Außentemperatur den Wert $0{,}6$, so beträgt die tatsächliche Reichweite eines Elektroautos bei dieser Außentemperatur $60\,\%$ seiner Nennreichweite.

Im Folgenden werden nur Temperaturen im Bereich von $-12^\circ\text{C}$ bis $36^\circ\text{C}$ sowie Elektroautos betrachtet, bei denen der durch die Funktion $r$ beschriebene Zusammenhang gilt.

a)

Geben Sie anhand von Abbildung 2 die Koordinaten des Hochpunkts des Graphen von $r$ an.

Beschreiben Sie die Bedeutung des Hochpunkts und seiner Koordinaten im Sachzusammenhang.

$(\,$ $\mid$

$\,)$

b)

Die Nennreichweite eines Elektroautos A beträgt $320\text{ km}$, die Nennreichweite eines Elektroautos B beträgt $500\text{ km}$. Bestimmen Sie mithilfe von Abbildung 2 eine Außentemperatur, bei der das Elektroauto A dieselbe tatsächliche Reichweite besitzt wie das Elektroauto B bei einer Außentemperatur von $0\,^\circ\text{C}$.

Gegeben ist die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f: x \mapsto 5x \cdot \mathrm{e}^{-x}$.

Abbildung 1 zeigt den Graphen $G$ von $f$.

Abbildung 2 zeigt eine Figur, die modellhaft das Wappen eines Sportvereins beschreibt.

Die Begrenzungslinien der Figur werden durch einen Teil der Gerade mit der Gleichung $y = 5$ sowie durch die Kurvenstücke $H_1$ und $H_2$ beschrieben:

$H_1$ entsteht, indem $G$ für $x \in [\ln 5; 5]$ an der Gerade mit der Gleichung $y = x$ gespiegelt wird.

$H_2$ entsteht durch Spiegeln von $H_1$ an der Gerade mit der Gleichung $x = \ln 5$.

Der Punkt $S(\ln 5 \mid \ln 5)$ ist gemeinsamer Punkt von $H_1$ und $H_2$.

a

$G$ hat genau einen Extrempunkt.

Berechnen Sie die Koordinaten des Extrempunkts von $G$. (zur Kontrolle: $(1 | \frac{5}{\mathrm{e}})$) [4 BE]

$($ $|$ $)$

b

Die Tangente $t$ an $G$ in dessen Wendepunkt hat die Gleichung $y = -\frac{5}{\mathrm{e}^2}x + \frac{20}{\mathrm{e}^2}$.

Ermitteln Sie eine Gleichung der Gerade, die den Extrempunkt von $G$ enthält und senkrecht zu $t$ verläuft. [3 BE]

$y =$

Gegeben ist die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f: x \mapsto 5x \cdot \mathrm{e}^{-x}$.

Abbildung 1 zeigt den Graphen $G$ von $f$.

Abbildung 2 zeigt eine Figur, die modellhaft das Wappen eines Sportvereins beschreibt.

Die Begrenzungslinien der Figur werden durch einen Teil der Gerade mit der Gleichung $y = 5$ sowie durch die Kurvenstücke $H_1$ und $H_2$ beschrieben:

$H_1$ entsteht, indem $G$ für $x \in [\ln 5; 5]$ an der Gerade mit der Gleichung $y = x$ gespiegelt wird.

$H_2$ entsteht durch Spiegeln von $H_1$ an der Gerade mit der Gleichung $x = \ln 5$.

Der Punkt $S(\ln 5 \mid \ln 5)$ ist gemeinsamer Punkt von $H_1$ und $H_2$.

Betrachtet wird die in $[1;+\infty[$ definierte Funktion $h$ mit $h(x) = f(x)$.

c

Begründen Sie, dass die Funktion $f$ nicht umkehrbar, die Funktion $h$ jedoch umkehrbar ist. Geben Sie den Definitions- und den Wertebereich der Umkehrfunktion von $h$ an. [6 BE]

Gegeben ist die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f: x \mapsto 5x \cdot \mathrm{e}^{-x}$.

Abbildung 1 zeigt den Graphen $G$ von $f$.

Abbildung 2 zeigt eine Figur, die modellhaft das Wappen eines Sportvereins beschreibt.

Die Begrenzungslinien der Figur werden durch einen Teil der Gerade mit der Gleichung $y = 5$ sowie durch die Kurvenstücke $H_1$ und $H_2$ beschrieben:

$H_1$ entsteht, indem $G$ für $x \in [\ln 5; 5]$ an der Gerade mit der Gleichung $y = x$ gespiegelt wird.

$H_2$ entsteht durch Spiegeln von $H_1$ an der Gerade mit der Gleichung $x = \ln 5$.

Der Punkt $S(\ln 5 \mid \ln 5)$ ist gemeinsamer Punkt von $H_1$ und $H_2$.

Abbildung 2 zeigt eine Figur, die modellhaft das Wappen eines Sportvereins beschreibt.

Die Begrenzungslinien der Figur werden durch einen Teil der Gerade mit der Gleichung $y = 5$ sowie durch die Kurvenstücke $H_1$ und $H_2$ beschrieben:

$H_1$ entsteht, indem $G$ für $x \in [\ln 5; 5]$ an der Gerade mit der Gleichung $y = x$ gespiegelt wird.

$H_2$ entsteht durch Spiegeln von $H_1$ an der Gerade mit der Gleichung $x = \ln 5$.

Der Punkt $S(\ln 5 \mid \ln 5)$ ist gemeinsamer Punkt von $H_1$ und $H_2$.

d

Begründen Sie, dass mit dem Term

$$2 \cdot \left( (5 - \ln 5) \cdot \ln 5 - \int_{\ln 5}^5 f(x)\,\mathrm{d}x \right)$$

der Flächeninhalt der Figur berechnet werden kann. [5 BE]

e

Die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $F \colon x \mapsto -5(x+1) \cdot \mathrm{e}^{-x}$ ist eine Stammfunktion von $f$.

Bestimmen Sie mit dem Term aus Aufgabe 1d den Flächeninhalt der Figur auf Zehntel gerundet. [3 BE]

Betrachtet wird die Schar der in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen$$g_k: x \mapsto -5x \cdot \mathrm{e}^{-kx} \quad \text{mit } k \in \mathbb{R}, \, k \neq 0$$Abbildung 3 zeigt vier Graphen der Schar, die zu den Werten $k = -1$, $k = -0{,}5$, $k = 0{,}5$ und $k = 1$ gehören.

a

Der Graph III kann durch Spiegeln von $G$ (vgl. Abbildung 1) an der x-Achse erzeugt werden. Geben Sie den zugehörigen Wert von $k$ sowie die Koordinaten des Tiefpunkts von Graph III an. Ordnen Sie den drei übrigen Werten von $k$ den jeweils passenden Graphen zu.

b

Zeigen Sie, dass $g_k(-x) = -g_{-k}(x)$ für alle $x \in \mathbb{R}$ gilt, und interpretieren Sie diese Gleichung mit Blick auf die Graphen der Funktionen $g_k$ und $g_{-k}$.

Für jeden Wert von a mit $a \in \mathbb{R} \setminus \{0\}$ ist die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f_a$ mit $f_a(x) = -3x^2 \cdot e^{a \cdot x}$ gegeben. Der Graph von $f_a$ wird mit $G_a$ bezeichnet.

a)

Abbildung 1 zeigt für einen Wert von $a$ den Graphen von $f_a$. Dieser verläuft durch den Punkt $(-4 \mid -48\mathrm{e}^{-2})$. Bestimmen Sie den zugehörigen Wert von $a$.

[2 BE]

b)

Begründen Sie anhand des Funktionsterms für jeden Wert von $a$, dass $f_a$ keine positiven Funktionswerte besitzt.

[2 BE]

Für jeden Wert von a mit $a \in \mathbb{R} \setminus \{0\}$ ist die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f_a$ mit $f_a(x) = -3x^2 \cdot e^{a \cdot x}$ gegeben. Der Graph von $f_a$ wird mit $G_a$ bezeichnet.

c)

$G_a$ hat für jeden Wert von $a$ genau zwei Extrempunkte, von denen einer im Koordinatenursprung liegt. Begründen Sie, dass im Koordinatenursprung der Hochpunkt von $G_a$ liegt, und berechnen Sie die x-Koordinate des Tiefpunkts.

(zur Kontrolle: x-Koordinate des Tiefpunkts: $-\frac{2}{a}$)

d)

Es gibt einen positiven Wert von $a$, für den der Tiefpunkt von $G_a$ Eckpunkt eines Quadrats ist, von dem zwei Seiten auf den Koordinatenachsen liegen. Ermitteln Sie diesen Wert von $a$ sowie den Flächeninhalt des zugehörigen Quadrats.

Auf einem Einfamilienhaus ist eine Photovoltaikanlage installiert.

An einem bestimmten Tag kann die von der Anlage im Zeitraum von 6:00 Uhr bis 20:00 Uhr abgegebene elektrische Leistung durch die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $k$ mit

$$k(x) = 2{,}4 \cdot \sin\left(\frac{\pi}{12} \cdot (x - 7)\right) + 1$$ beschrieben werden.

Die in diesem Zeitraum im Haus aufgenommene elektrische Leistung kann durch eine in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $h$ beschrieben werden. Dabei ist $x$ jeweils die seit 0:00 Uhr vergangene Zeit in Stunden, $k(x)$ die von der Photovoltaikanlage abgegebene elektrische Leistung und $h(x)$ die im Haus aufgenommene elektrische Leistung, jeweils in der Einheit Kilowatt ($\text{kW}$).

Abbildung 2 zeigt die zugehörigen Ausschnitte der Graphen von $k$ und $h$.

a)

Um 13:00 Uhr gibt die Photovoltaikanlage die maximale elektrische Leistung ab. Ermitteln Sie rechnerisch einen Zeitpunkt, zu dem die Photovoltaikanlage eine elektrische Leistung abgibt, die 50 % dieser Leistung entspricht; geben Sie die zugehörige Uhrzeit in Stunden und Minuten an. [5 BE]

b)

Ermitteln Sie grafisch die Zeitpunkte, zu denen die von der Photovoltaikanlage abgegebene elektrische Leistung genauso groß ist wie die im Haus aufgenommene elektrische Leistung. [3 BE]

Auf einem Einfamilienhaus ist eine Photovoltaikanlage installiert.

An einem bestimmten Tag kann die von der Anlage im Zeitraum von 6:00 Uhr bis 20:00 Uhr abgegebene elektrische Leistung durch die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $k$ mit

$$k(x) = 2{,}4 \cdot \sin\left(\frac{\pi}{12} \cdot (x - 7)\right) + 1$$ beschrieben werden.

Die in diesem Zeitraum im Haus aufgenommene elektrische Leistung kann durch eine in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $h$ beschrieben werden. Dabei ist $x$ jeweils die seit 0:00 Uhr vergangene Zeit in Stunden, $k(x)$ die von der Photovoltaikanlage abgegebene elektrische Leistung und $h(x)$ die im Haus aufgenommene elektrische Leistung, jeweils in der Einheit Kilowatt ($\text{kW}$).

Abbildung 2 zeigt die zugehörigen Ausschnitte der Graphen von $k$ und $h$.

Die in einem bestimmten Zeitraum von der Photovoltaikanlage insgesamt abgegebene bzw. im Haus insgesamt aufgenommene elektrische Energie kann mithilfe des folgenden allgemeinen Zusammenhangs bestimmt werden:

Beschreibt eine Funktion $p$ in einem Zeitraum, der durch ein Intervall $[a; b]$ beschrieben wird, eine elektrische Leistung, so gibt $\int_a^b p(x)\,\mathrm{d}x$ die zugehörige elektrische Energie an. Wird dabei die Zeit in Stunden und die elektrische Leistung in $\mathrm{kW}$ angegeben, so gibt das Integral die elektrische Energie in $\mathrm{kWh}$ an.

c)

Die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $K$ mit $K(x) = -\frac{144}{5\pi}\cdot \cos\left(\frac{\pi}{12}\cdot(x-7)\right)+x$ ist eine Stammfunktion von $k$.

Berechnen Sie die von 6:00 Uhr bis 20:00 Uhr insgesamt von der Photovoltaikanlage abgegebene elektrische Energie.

[4 Punkte]

d)

Begründen Sie mithilfe von Abbildung 2 die Aussage $\int_6^{20} (k(x)-h(x))\,\mathrm{d}x < 0$ und interpretieren Sie diese im Sachzusammenhang.

[4 Punkte]