Abitur NRW Mathematik 2025 · GK · Teil B · Stochastik (CAS)

In einer Großstadt wurde bei einer Erhebung der Anteil der überbelegten Haushalte an allen Haushalten erfasst. Ein Haushalt gilt als überbelegt, wenn er über zu wenige Zimmer in Bezug auf die Anzahl der im Haushalt lebenden Personen verfügt.

In 28,5 % aller Haushalte lebt mindestens ein Kind. Von diesen Haushalten sind 15,9 % überbelegt. Bei den Haushalten ohne Kind beträgt der Anteil der überbelegten Haushalte 6,5 %.

a

Stellen Sie den Sachverhalt in einem beschrifteten Baumdiagramm dar. [3 BE]

b

Zeigen Sie, dass etwa $9{,}18\,\%$ aller Haushalte überbelegt sind. [2 BE]

e

Zwei Jahre später kann davon ausgegangen werden, dass in der Großstadt sich sowohl der Anteil der Haushalte mit mindestens einem Kind als auch der Anteil der überbelegten Haushalte an den Haushalten ohne Kind nicht verändert hat. Gegeben ist die Funktion $f$ mit $$f(x)=\frac{0{,}285\cdot (0{,}159-x)}{0{,}285\cdot (0{,}159-x)+0{,}715\cdot 0{,}065}\quad\text{und } 0\le x\le 0{,}159.$$ Bestimmen Sie denjenigen Wert von $x$, für den $f(x)=0{,}4$ gilt, und interpretieren Sie diesen Wert von $x$ sowie den Funktionswert von $x$ im Sachzusammenhang. [4 BE]

In einer Großstadt wurde bei einer Erhebung der Anteil der überbelegten Haushalte an allen Haushalten erfasst. Ein Haushalt gilt als überbelegt, wenn er über zu wenige Zimmer in Bezug auf die Anzahl der im Haushalt lebenden Personen verfügt.

In 28,5 % aller Haushalte lebt mindestens ein Kind. Von diesen Haushalten sind 15,9 % überbelegt. Bei den Haushalten ohne Kind beträgt der Anteil der überbelegten Haushalte 6,5 %.

Unter allen Haushalten der Großstadt werden $1000$ Haushalte zufällig ausgewählt. Die Zufallsgröße $X$ beschreibt die Anzahl der überbelegten Haushalte in der Stichprobe und wird als binomialverteilt angenommen.

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Beurteilen Sie ohne Berechnung von Wahrscheinlichkeiten die folgende Aussage:

Die Wahrscheinlichkeitsverteilung von $X$ nimmt für $90$ den größtmöglichen Wert an.

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Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass von den $1000$ zufällig ausgewählten Haushalten höchstens $k$ Haushalte überbelegt sind, soll mehr als $90\,\%$ betragen. Ermitteln Sie den kleinstmöglichen Wert für $k$.

Betrachtet wird ein Brettspiel mit zwei Würfeln, deren Seiten jeweils mit den Zahlen 1 bis 6 durchnummeriert sind. In jedem Spielzug werden beide Würfel geworfen. Wenn sich dabei die Augensumme 8 oder 9 ergibt, wird eine Ereigniskarte aufgedeckt, ansonsten nicht.

a

Begründen Sie, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, dass in einem Spielzug eine Ereigniskarte aufgedeckt wird, $\frac{1}{4}$ beträgt. [3 BE]

b

Betrachtet werden die ersten fünf Spielzüge. Beschreiben Sie im Sachzusammenhang ein Ereignis, dessen Wahrscheinlichkeit mit dem Term $\left(\frac{1}{4}\right)^5 + \left(\frac{3}{4}\right)^5$ berechnet werden kann. [2 BE]

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Zu dem Brettspiel gehören Plättchen, auf denen Landschaften und Tiere abgebildet sind. Es kommen genau drei verschiedene Landschaftssymbole und zwei verschiedene Tiersymbole vor. Auf jedem Plättchen sind genau zwei Landschaftssymbole und ein oder zwei Tiersymbole abgebildet, wobei kein Symbol doppelt vorkommt. Zwei Plättchen gelten als gleich, wenn auf ihnen genau die gleichen Symbole abgebildet sind.

Ermitteln Sie die Anzahl der verschiedenen Plättchen, die es bei diesem Spiel höchstens geben kann. [4 BE]

Betrachtet wird ein Brettspiel mit zwei Würfeln, deren Seiten jeweils mit den Zahlen 1 bis 6 durchnummeriert sind. In jedem Spielzug werden beide Würfel geworfen. Wenn sich dabei die Augensumme 8 oder 9 ergibt, wird eine Ereigniskarte aufgedeckt, ansonsten nicht.

Die Zufallsgröße $X$ beschreibt die Anzahl der in einem Spiel mit $60$ Spielzügen insgesamt aufgedeckten Ereigniskarten.

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Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass im Laufe dieses Spiels weniger als zwölf Ereigniskarten aufgedeckt werden. [2 BE]

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Die Abbildung zeigt die Wahrscheinlichkeitsverteilung von $X$. Skalieren Sie in der Abbildung die beiden Achsen, indem Sie jeweils einen geeigneten Wert ermitteln und diesen auf der zugehörigen Achse eintragen. [4 BE]