Abitur NRW Mathematik 2025 · LK · Teil A · Analytische Geometrie

Die Abbildung zeigt einen Würfel $ABCDEFGH$ der Kantenlänge 4 in einem Koordinatensystem. Drei Seitenflächen dieses Würfels liegen in Koordinatenebenen.

Die Ebene $K$ enthält die Punkte $A(0|0|0)$, $B(4|0|0)$ und den Mittelpunkt der Kante $\overline{FG}$.

a

Gegeben sind zwei Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ mit jeweils drei Koordinaten.

Entscheiden Sie durch Ankreuzen, ob der jeweilige Ausdruck einen Vektor mit drei Koordinaten darstellt, eine Zahl darstellt oder nicht definiert ist.

Ausdruck

Vektor mit drei Koordinaten

Zahl

nicht definiert

$\vec{a} \circ (\vec{a} + \vec{b})$

$\vec{a} + (\vec{a} \circ \vec{b})$

b

Betrachtet wird der Winkel zwischen den Vektoren $\vec{u} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}$ und $\vec{v}_r = \begin{pmatrix} r \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix}$ mit $r \in \mathbb{R}$.

Ermitteln Sie alle Werte von $r$, für die dieser Winkel eine Größe von mindestens $90^\circ$ hat.

Die Abbildung zeigt einen Würfel $ABCDEFGH$ der Kantenlänge 4 in einem Koordinatensystem. Drei Seitenflächen dieses Würfels liegen in Koordinatenebenen.

Die Ebene $K$ enthält die Punkte $A(0|0|0)$, $B(4|0|0)$ und den Mittelpunkt der Kante $\overline{FG}$.

a

Die Ebene $K$ teilt den Würfel in zwei Teilkörper. Berechnen Sie das Volumen des kleineren Teilkörpers.

Die Abbildung zeigt einen Würfel $ABCDEFGH$ der Kantenlänge 4 in einem Koordinatensystem. Drei Seitenflächen dieses Würfels liegen in Koordinatenebenen.

Die Ebene $K$ enthält die Punkte $A(0|0|0)$, $B(4|0|0)$ und den Mittelpunkt der Kante $\overline{FG}$.

b

Eine zweite Ebene $L$ enthält die Punkte $E$ und $F$ sowie den Mittelpunkt der Kante $\overline{BC}$.

Zeichnen Sie die Schnittfigur dieser Ebene mit dem Würfel in die Abbildung ein und geben Sie eine Gleichung der Schnittgerade der Ebenen $K$ und $L$ an.

Stützvektor $\vec{p} = \begin{pmatrix} p_1 \\ p_2 \\ p_3 \end{pmatrix}$: (,,)

Richtungsvektor $\vec{u} = \begin{pmatrix} u_1 \\ u_2 \\ u_3 \end{pmatrix}$: (,,)

Für jede reelle Zahl $k$ wird die Gerade $g_k: \vec{x} = \begin{pmatrix} 5 - 6k \\ 3k \\ 4 - 9k \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix}$ mit $r \in \mathbb{R}$ betrachtet.

Für jede reelle Zahl $k$ wird die Gerade $g_k: \vec{x} = \begin{pmatrix} 5 - 6k \\ 3k \\ 4 - 9k \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix}$ mit $r \in \mathbb{R}$ betrachtet.

a

Zeigen Sie, dass für keinen Wert von $k$ der Punkt $(0|0|0)$ auf $g_k$ liegt.

[2 BE]

b

Beurteilen Sie die folgende Aussage:

Alle Geraden $g_k$ sind identisch.

[3 BE]

Für jede reelle Zahl $k$ wird die Gerade $g_k: \vec{x} = \begin{pmatrix} 5 - 6k \\ 3k \\ 4 - 9k \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix}$ mit $r \in \mathbb{R}$ betrachtet.

Gegeben ist die Schar der Ebenen $E_k: kx + (2-k)\cdot y = k$ mit $k \in \mathbb{R}$.

a)

Es gibt eine Koordinatenebene, zu der alle Ebenen der Schar senkrecht stehen. Geben Sie diese an. [1 BE]

b)

Zeigen Sie, dass jeweils zwei verschiedene Ebenen der Schar nicht parallel zueinander sind. [4 BE]

Für jede reelle Zahl $k$ wird die Gerade $g_k: \vec{x} = \begin{pmatrix} 5 - 6k \\ 3k \\ 4 - 9k \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix}$ mit $r \in \mathbb{R}$ betrachtet.

a

Geben Sie eine Gleichung einer der beiden Symmetrieebenen des Körpers ABCDEFGH an.

b

Begründen Sie, dass die Koordinaten des Punkts F mit folgendem Term ermittelt werden können:

$$\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 5 \end{pmatrix} + 2 \cdot \left( \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} \right)$$

Für jede reelle Zahl $k$ wird die Gerade $g_k: \vec{x} = \begin{pmatrix} 5 - 6k \\ 3k \\ 4 - 9k \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix}$ mit $r \in \mathbb{R}$ betrachtet.

Betrachtet wird das folgende lineare Gleichungssystem mit einem Parameter $a \in \mathbb{R}$:

$$\begin{array}{rcccl} \text{I} & x + 2y & & = & a \\ \text{II} & & -y + 4z & = & 2 \\ \text{III} & & (4-a^2)z & = & 2+a \end{array}$$ a

Bestimmen Sie die Lösung des Gleichungssystems für $a = 0$. [2 BE]

$x =$

$y =$

$z =$

b

Begründen Sie die folgende Aussage: [3 BE]

Es gibt einen Wert von $a$, für den das Gleichungssystem keine Lösung besitzt, und es gibt einen Wert von $a$, für den das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen besitzt.