Abitur NRW Mathematik 2025 · LK · Teil B · Analytische Geometrie (WTR)

Die Abbildung zeigt die Pyramide $ABCDS$. Ihre Grundfläche $ABCD$ ist ein Drachenviereck mit den Eckpunkten $A(0|0|0)$, $B(2|2|0)$, $C(0|6|0)$ und $D(-2|2|0)$. Die Spitze der Pyramide liegt im Punkt $S(0|0|6)$.

a)

Berechnen Sie die Länge der kürzesten der acht Kanten sowie das Volumen der Pyramide ABCDS.

c)

Die Ebene $E$ hat die Gleichung $2x + y + z = 6$. Bestimmen Sie die Größe des Winkels, den $E$ mit der xy-Ebene einschließt.

°

e)

Gegeben ist die Schar der Ebenen $F_k: k\cdot y + (k - 2)\cdot z = 2k$ mit $k \in ]0; 3[$. Jede Ebene $F_k$ der Schar schneidet die Pyramide ABCDS in einem Dreieck $BDQ_k$, wobei der Punkt $Q_k$ auf der Strecke $\overline{SC}$ liegt. Es gibt einen Wert von $k$, für den der Flächeninhalt des Dreiecks $BDQ_k$ minimal ist. Ermitteln Sie diesen Wert.

Die Abbildung zeigt die Pyramide $ABCDS$. Ihre Grundfläche $ABCD$ ist ein Drachenviereck mit den Eckpunkten $A(0|0|0)$, $B(2|2|0)$, $C(0|6|0)$ und $D(-2|2|0)$. Die Spitze der Pyramide liegt im Punkt $S(0|0|6)$.

b)

Die Seitenfläche BCS der Pyramide liegt in der Ebene $E$. Betrachtet werden die Vektoren $\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix}$, deren Koordinaten nicht alle gleich null sind.

Begründen Sie, dass ein solcher Vektor, für den

$$\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} = 0 \quad \text{und} \quad \begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix} = 0$$

gilt, ein Normalenvektor von $E$ ist.

d)

Gegeben ist die Schar der Ebenen $F_k: k\cdot y + (k - 2)\cdot z = 2k$ mit $k \in ]0; 3[$.

Geben Sie eine Gleichung der Ebene $F_2$ an und zeichnen Sie in die Abbildung die Schnittfigur von $F_2$ mit der Pyramide ABCDS ein.