Aufgabe MMS 1: Aufgabe 2 a, b - Differentialrechnung · Abitur NRW Mathematik LK · Teil B · Analysis (CAS) 2025

Aufgabe 2

Um Regenwasser zu speichern, wird es kontrolliert in ein unterirdisches Auffangbecken geleitet. Für ein bestimmtes Regenereignis wird die momentane Zuflussrate des Regenwassers in das Auffangbecken durch die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $r$ mit $r(x) = \mathrm{e}^x \cdot f_{2{,}5}(x)$ für $0 \le x \le 5$ modellhaft beschrieben. Dabei ist $x$ die Zeit in Stunden, die seit Beginn des Zuflusses in das Auffangbecken vergangen ist, und $r(x)$ die momentane Zuflussrate in $\frac{\mathrm{m}^3}{\mathrm{h}}$ (Kubikmeter pro Stunde). Die Funktion $f_{2{,}5}$ ist die Funktion der Schar aus Aufgabe 1 mit $k = 2{,}5$.

a

Berechnen Sie die größte und die kleinste momentane Zuflussrate im betrachteten Zeitraum. [4 BE]

b

Im Intervall $[0; 5]$ besitzt $r$ genau zwei Wendestellen $x_0$ und $x_1$. Außerdem gilt $r'(x_0) \approx 100{,}5$ und $r'(x_1) \approx -240{,}2$ sowie $r'(0) = 0$ und $r'(5) = 0$. Beschreiben Sie die Bedeutung des Wertes $r'(x_0)$, die sich aus diesen Informationen ergibt, im Sachzusammenhang. [3 BE]