Abitur NRW Mathematik 2019 · LK · Teil B · Lineare Algebra (WTR)

Bevor ein Australischer Marienkäfer das Stadium eines ausgewachsenen Käfers erreicht, durchläuft er nacheinander die Stadien Ei, Larve und Puppe. Betrachtet wird die Entwicklung einer Population von Marienkäfern in einem großen Gewächshaus, in dem die Larven und ausgewachsenen Käfer als natürlicher Pflanzenschutz gegen Schmierläuse wirken.

Die Zusammensetzungen der Population werden durch Vektoren $\vec{v}_n$ der Form $$\begin{pmatrix} E \\ L \\ P \\ K \end{pmatrix}$$ dargestellt, wobei $E$ die Anzahl der Eier, $L$ die Anzahl der Larven, $P$ die Anzahl der Puppen und $K$ die Anzahl der ausgewachsenen Käfer bezeichnet.

1 Die Entwicklung der Population vom Morgen eines Tages $n$ zum Morgen des nächsten Tages lässt sich modellhaft durch die Gleichung $M \cdot \vec{v}_n = \vec{v}_{n+1}$ mit

$$M = \begin{pmatrix} 0{,}6 & 0 & 0 & 4 \\ 0{,}1 & 0{,}8 & 0 & 0 \\ 0 & 0{,}1 & 0{,}7 & 0 \\ 0 & 0 & 0{,}1 & 0{,}9 \end{pmatrix}$$

beschreiben.

a)

Stellen Sie die durch die Matrix $M$ beschriebene Entwicklung in einem Übergangsdiagramm dar. [3 BE]

Es gibt genau dann eine Zusammensetzung der Population mit mindestens einem ausgewachsenen Käfer, die sich vom Morgen eines Tages bis zum Morgen des nächsten Tages nicht verändert, wenn das folgende Gleichungssystem eine Lösung mit $K \ge 1$ hat:

I $0{,}4E = 4K$

II $E = 2L$

III $L = 3P$

IV $P = K$

b)

Leiten Sie die Gleichung III her. [3 BE]

c)

Entscheiden Sie, ob es eine Zusammensetzung der Population mit mindestens einem ausgewachsenen Käfer gibt, die sich vom Morgen eines Tages bis zum Morgen des nächsten Tages nicht verändert. Begründen Sie Ihre Entscheidung. [3 BE]

An einem Montagmorgen besteht die Population aus $1850$ Eiern, $800$ Larven, $250$ Puppen und $200$ ausgewachsenen Käfern. Da dennoch zahlreiche Pflanzen von Schmierläusen befallen sind, werden an diesem Morgen zusätzliche $50$ Larven und $30$ ausgewachsene Käfer im Gewächshaus ausgebracht.

d)

Berechnen Sie für den folgenden Dienstagmorgen die Anzahlen der Eier, Larven, Puppen und Käfer. [2 BE]

e)

Am Dienstagmorgen werden weitere $50$ Larven und $30$ ausgewachsene Käfer ausgebracht. Begründen Sie, dass die Zusammensetzung der Population am folgenden Mittwochmorgen nicht durch den Term

$$M \cdot M \cdot \left(\begin{pmatrix} 1850 \\ 800 \\ 250 \\ 200 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 \\ 50 \\ 0 \\ 30 \end{pmatrix}\right)$$

dargestellt wird. Ändern Sie den vorgegebenen Term so, dass er die Zusammensetzung an diesem Mittwochmorgen angibt. [3 BE]

Bevor ein Australischer Marienkäfer das Stadium eines ausgewachsenen Käfers erreicht, durchläuft er nacheinander die Stadien Ei, Larve und Puppe. Betrachtet wird die Entwicklung einer Population von Marienkäfern in einem großen Gewächshaus, in dem die Larven und ausgewachsenen Käfer als natürlicher Pflanzenschutz gegen Schmierläuse wirken.

Die Zusammensetzungen der Population werden durch Vektoren $\vec{v}_n$ der Form $$\begin{pmatrix} E \\ L \\ P \\ K \end{pmatrix}$$ dargestellt, wobei $E$ die Anzahl der Eier, $L$ die Anzahl der Larven, $P$ die Anzahl der Puppen und $K$ die Anzahl der ausgewachsenen Käfer bezeichnet.

2 Je geringer die Temperatur im Gewächshaus ist, desto weniger Eier werden gelegt und desto geringer sind die Anteile der Eier, Larven und Puppen, die vom Morgen eines Tages zum Morgen des nächsten Tages in das jeweils nächste Stadium übergehen. Ist die Temperatur geringer als für das in Aufgabe 1 verwendete Modell angenommen, so kann die Entwicklung der Population vom Morgen eines Tages $n$ zum Morgen des nächsten Tages durch die Gleichung $N \cdot \vec{v}_n = \vec{v}_{n+1}$ mit

$$N = \begin{pmatrix} 0{,}6 & 0 & 0 & 4 - \frac{1}{t} \\ 0{,}1 - 0{,}9t^2 & 0{,}8 & 0 & 0 \\ 0 & 0{,}1 - 0{,}1t^2 & 0{,}7 & 0 \\ 0 & 0 & 0{,}1 - 0{,}9t^2 & 0{,}9 \end{pmatrix}$$

beschrieben werden. Dabei ist $t$ ein von der Temperatur abhängiger Parameter mit positiven Werten.

a)

Begründen Sie, dass bezogen auf die gesamte Entwicklung der Population der größte sinnvolle Definitionsbereich für $t$ durch $\left[\frac{1}{4}; \frac{1}{3}\right]$ angegeben wird. [5 BE]

b)

An einem Morgen setzt sich die Population aus 1700 Eiern, 1380 Larven, 690 Puppen und 510 ausgewachsenen Käfern zusammen. Am folgenden Morgen enthält die Population nur noch 1360 Eier. Bestimmen Sie den zugehörigen Wert von $t$. [3 BE]

c)

An einem anderen Morgen gehören zur Population 316 Puppen und 373 ausgewachsene Käfer. Ermitteln Sie alle Anzahlen der ausgewachsenen Käfer, die abhängig von der Temperatur am folgenden Morgen auftreten können. [3 BE]