Aufgabe WTR 2 - Aufgabe 2: Funktionen und ihre Eigenschaf… · Abitur NRW Mathematik GK · Teil B · Analysis (WTR) 2019

Betrachtet werden die in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $f_k: x \mapsto -kx \cdot (x - 8)$ mit $k \in \mathbb{R}^+$. Der Graph von $f_k$ wird mit $G_k$ bezeichnet.

Die Abbildung zeigt den Graphen von $f_{\frac{1}{4}}$.

Betrachtet werden die Trapeze mit den Eckpunkten $A(0 \mid 0)$, $B(8 \mid 0)$, $C_u(8-u \mid f_{\frac{1}{4}}(u))$ und $D_u(u \mid f_{\frac{1}{4}}(u))$, wobei $u$ alle Werte des Intervalls $]0; 4[$ annimmt.

2 In einem Raum wurde die Wirksamkeit der Lüftungsanlage untersucht. Dazu wurde die Konzentration des Kohlendioxids ($\mathrm{CO_2}$) in der Luft gemessen, während sich eine Personengruppe im Raum befand. Die Messwerte können mithilfe der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $g: x \mapsto -600\mathrm{e}^{-0{,}5x} + 1000$ beschrieben werden. Dabei ist $x$ die seit Beginn der Untersuchung vergangene Zeit in Stunden und $g(x)$ die $\mathrm{CO_2}$-Konzentration in „parts per million“ (kurz: ppm).

a)

Bestimmen Sie die $\mathrm{CO_2}$-Konzentration zu Beginn der Untersuchung.

b)

Einer Studie zufolge fühlen sich Personen in Räumen wohl, wenn die $\mathrm{CO_2}$-Konzentration geringer als $1000\text{ ppm}$ ist. Untersuchen Sie, ob diese Bedingung während der Untersuchung erfüllt war.

c)

Stellen Sie die zeitliche Entwicklung der $\mathrm{CO_2}$-Konzentration für die ersten zehn Stunden nach Beginn der Untersuchung grafisch dar.

d)

Zeigen Sie, dass die mittlere Änderungsrate der $\mathrm{CO_2}$-Konzentration für jede Zeitspanne mit einer Länge von einer Stunde mithilfe des Terms $600\cdot\left(1 - \frac{1}{\sqrt{\mathrm{e}}}\right)\cdot\mathrm{e}^{-0{,}5x}$ bestimmt werden kann. Berechnen Sie denjenigen Zeitpunkt auf eine Minute genau, für den die beschriebene mittlere Änderungsrate erstmals den Wert $100\,\frac{\text{ppm}}{\text{h}}$ unterschreitet.