Examen de Matemáticas II PAU País Vasco 2024 · Extraordinaria

Ejercicio A1

[1 p] Discute la existencia de solución del siguiente sistema en función de los valores del parámetro $\alpha$:

$$\begin{cases} \alpha x + 4y + z = 3, \\ \alpha x - 5y + 2z = -2, \\ 2x - y + 3z = 1. \end{cases}$$

Resuelve el sistema, si es posible:

(a)

[0,75 p] cuando $\alpha = 0$,

x =

y =

z =

(b)

[0,75 p] cuando $\alpha = 1$.

Ejercicio B1

(2,5 p) Calcula el rango de la matriz $A$ dependiendo de los valores del parámetro $m$:

$$A = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 4 & 1 \\ m & 2 - m & 2 & 1 \\ m & -2 & m - 2 & 1 \end{pmatrix}.$$

Ejercicio A2

Se consideran las siguientes rectas:

$$r \equiv \frac{x - 1}{1} = \frac{y + 1}{2} = \frac{z}{-1}; \qquad s \equiv \begin{cases} x = \lambda, \\ y = -2 + 3\lambda, \\ z = -1 + \lambda. \end{cases}$$

(a)

(1 p) Determina su posición relativa.

(b)

(1,5 p) Si dichas rectas se cortan, calcula el ángulo mínimo formado entre ambas. En caso de que no se corten, calcula la distancia entre ambas rectas.

Se consideran la recta y el plano siguientes:

$

r \equiv \begin{cases} 2x - y + z = 0, \\ x - y + 4z = 1; \end{cases} \qquad \pi \equiv 2x - 3y + Az = 10.

$

(a)

[0,75 p] Calcula el valor del parámetro $A$ para que la recta $r$ y el plano $\pi$ sean paralelos.

(b)

[0,75 p] Si $A = 21$, calcula la intersección del plano $\pi$ y la recta $r$.

$($

$,$

$,$

$)$

(c)

[1 p] Si $A = 1$, calcula el punto simétrico del origen de coordenadas respecto del plano $\pi$.

$($

$,$

$,$

$)$

Sea $f(x) = x^3 + Ax^2 + Bx + C$. Las rectas tangentes a la gráfica de la función $f$ en los puntos de abscisa $x = -1$ y $x = 2$ son paralelas. Además, $f$ tiene un extremo relativo cuando $x = 1$ y $f(0) = \lim_{x \to 0} \frac{e^{2x} - 1}{x}$.

(a)

[1,5 p] Encuentra los valores de los parámetros $A$, $B$ y $C$.

(b)

[1 p] Encuentra la ecuación de la recta tangente a la gráfica de $f$ en el punto de abscisa $x = -1$ para los valores de los parámetros $A = -3$, $B = 0$ y $C = 4$.

Sea $f(x) = 2xe^{-2x^2}$.

(a)

[1 p] Encuentra los intervalos de crecimiento y decrecimiento de $f$.

(b)

[1 p] Encuentra los extremos relativos de $f$ y razona si son máximos o mínimos.

(c)

[0,5 p] Calcula las asíntotas de $f$.

[2,5 p] Calcula la siguiente integral, y explica el método empleado:

$$\int x \ln^2 x \, dx$$

Se consideran las curvas de ecuaciones $y = \dfrac{x^2}{3}$, $y = x^2 + 2x$ e $y = 3$.

(a)

[1,25 p] Dibuja el recinto del primer cuadrante limitado por dichas curvas.

(b)

[1,25 p] Calcula el área de ese recinto.

QUINTA PARTE (2,5 puntos). Responde solo a uno de los dos ejercicios.

Ejercicio A5

Los resultados publicados en diciembre de 2019 sobre la aplicación de la vacuna M72 en Sudáfrica, Kenia y Zambia revelaron que la probabilidad de quedar protegido contra la tuberculosis pulmonar activa es de $0{,}54$. Se aplica la vacuna a un grupo de $3289$ adultos.

(a)

[0,5 p] Identifica la distribución correspondiente al número de adultos que quedan protegidos, y determina sus parámetros.

(b)

[1 p] Calcula la probabilidad de que la vacuna haya sido efectiva en $1800$ adultos.

(c)

[1 p] Calcula la probabilidad de que la vacuna haya sido efectiva en menos de $1700$ adultos.

Ejercicio B5

Sean $A$ y $B$ sucesos aleatorios independientes, siendo sus probabilidades $P(A) = 0,7$ y $P(B) = 0,1$, y sean $\overline{A}$ y $\overline{B}$ los sucesos complementarios de $A$ y $B$ respectivamente. Calcula las siguientes probabilidades razonadamente, e indica claramente el proceso o ley aplicada:

(a)

[0,5 p] $P(A \cup B)$

(b)

[0,5 p] $P(\overline{A} \cup \overline{B})$

(c)

[0,5 p] $P(\overline{A} \cap \overline{B})$

(d)

[0,5 p] $P(A \cap \overline{B})$

(e)

[0,5 p] $P(\overline{A} \mid \overline{B})$