Examen de Matemáticas II PAU País Vasco 2024 · Ordinaria

Ejercicio A1

[2 p] Discute la existencia de solución del siguiente sistema en función de los valores del parámetro $\alpha$:

$\begin{cases}

\alpha x + y + z = 2, \\

x + 2y + (\alpha - 1)z = -1, \\

2x + y + (\alpha - 2)z = 1.

\end{cases}$

$\alpha_1 =$

$\alpha_2 =$

[0,5 p] Resuelve el sistema, si es posible, en el caso $\alpha = 1$.

$x =$

$y =$

$z =$

Ejercicio B1

Se sabe que:

$$\begin{vmatrix} a & b & c \\ p & q & r \\ x & y & z \end{vmatrix} = 2.$$ Calcula, explicando las propiedades aplicadas:

(a)

(1,5 p) Valor del determinante:

$$\begin{vmatrix} 3a & 3b & 3c \\ a-p & b-q & c-r \\ 2x-a & 2y-b & 2z-c \end{vmatrix}$$

(b)

(1 p) Valor del determinante:

$$\begin{vmatrix} a & x & 2p \\ b & y & 2q \\ c & z & 2r \end{vmatrix}$$

Se consideran las siguientes rectas:

$$r \equiv \begin{cases} x = 2\lambda, \\ y = -1 + 4\lambda, \\ z = 2 - \lambda; \end{cases} \qquad s \equiv \begin{cases} 2x - y = 1, \\ z = 3. \end{cases}$$

(a)

[1 p] Calcula la posición relativa de las rectas $r$ y $s$.

(b)

[0,75 p] Calcula la ecuación del plano que contiene a ambas rectas.

(c)

[0,75 p] Dado el punto $P(-8, -8, 0)$, calcula el punto $Q$ de la recta $r$ de modo que el vector $\vec{PQ}$ sea perpendicular a la recta $r$.

(

,

,

)

Ejercicio B2

Dados los puntos $P_1(1, 4, 5)$, $P_2(1, 2, -1)$, $P_3(0, -2, 3)$ y $P_4(-2, 0, 1)$, calcula:

(a)

(1 p) la ecuación del plano $\pi$ que contiene a los puntos $P_2$, $P_3$ y $P_4$:

(b)

(1,5 p) el punto simétrico de $P_1$ respecto del plano $\pi$:

(

,

,

)

Ejercicio A3

Sea $f(x) = \dfrac{x}{x^2 - 2x + 1}$.

(a)

(0,5 p) Encuentra las asíntotas de $f$.

(b)

(1 p) Calcula los intervalos de crecimiento y decrecimiento de $f$.

(c)

(0,5 p) Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de $f$ en el punto de abscisa $x = 0$.

(d)

(0,5 p) Haz una representación aproximada de la gráfica de la función $f$.

Ejercicio B3

Se sabe que la función $f(x) = Ax^4 + Bx^2 + C$ tiene un extremo relativo cuando $x = 1/2$ y la ecuación de la recta tangente a su gráfica en el punto de abscisa $x = 1$ es $y = 6x - 2$.

(a)

(1,5 p) Encuentra los valores de los parámetros $A$, $B$ y $C$.

A =

B =

C =

(b)

(1 p) Encuentra todos los extremos relativos de la función $f$ y razona si son máximos o mínimos.

Ejercicio A4

Calcula las dos integrales siguientes:

(a) [1,25 p]

$$\int \frac{2-3x+x^3}{x^2+2x+1}\,dx$$

(b) [1,25 p]

$$\int \frac{2-3x}{x^2+2x+1}\,dx$$

Ejercicio B4

Se consideran las curvas de ecuaciones $y=x^2$ e $y=\dfrac{x^2}{3}$ y la recta de ecuación $y=x$.

(a) [1,25 p]

Dibuja el recinto del primer cuadrante limitado por esas tres curvas.

(b) [1,25 p]

Ejercicio A5

Tenemos dos urnas con bolas de colores. La urna A contiene 3 bolas verdes, 5 bolas rojas y 4 bolas azules. La urna B contiene 2 bolas verdes, 2 bolas rojas y 3 bolas azules. Se saca, al azar, una bola de la urna A y se mete en la urna B. Posteriormente se saca una bola de la urna B.

(a) [0,5 p]

Realiza el correspondiente diagrama de árbol.

(b) [0,75 p]

Calcula la probabilidad de que la bola extraída de la urna B sea verde.

(c) [0,5 p]

Calcula la probabilidad de que la bola extraída de la urna B sea verde sabiendo que la bola extraída de la urna A ha sido roja.

(d) [0,75 p]

Sabiendo que la bola extraída de la urna B es verde, calcula la probabilidad de que la bola extraída de la urna A haya sido roja.

Tras la realización de un estudio, se ha llegado a la conclusión de que el tiempo medio que un adulto aguanta bajo el agua sin respirar es de 45 segundos, con una desviación típica de 7,3 segundos, ajustándose los datos a una distribución normal.

· 0'00 · 0'01 · 0'02 · 0'03 · 0'04 · 0'05 · 0'06 · 0'07 · 0'08 · 0'09

0'0 · 0'5000 · 0'5040 · 0'5080 · 0'5120 · 0'5160 · 0'5199 · 0'5239 · 0'5279 · 0'5319 · 0'5359

0'1 · 0'5398 · 0'5438 · 0'5478 · 0'5517 · 0'5557 · 0'5596 · 0'5636 · 0'5675 · 0'5714 · 0'5753

0'2 · 0'5793 · 0'5832 · 0'5871 · 0'5910 · 0'5948 · 0'5987 · 0'6026 · 0'6064 · 0'6103 · 0'6141

0'3 · 0'6179 · 0'6217 · 0'6255 · 0'6293 · 0'6331 · 0'6368 · 0'6406 · 0'6443 · 0'6480 · 0'6517

0'4 · 0'6554 · 0'6591 · 0'6628 · 0'6664 · 0'6700 · 0'6736 · 0'6772 · 0'6808 · 0'6844 · 0'6879

0'5 · 0'6915 · 0'6950 · 0'6985 · 0'7019 · 0'7054 · 0'7088 · 0'7123 · 0'7157 · 0'7190 · 0'7224

0'6 · 0'7257 · 0'7291 · 0'7324 · 0'7357 · 0'7389 · 0'7422 · 0'7454 · 0'7486 · 0'7517 · 0'7549

0'7 · 0'7580 · 0'7611 · 0'7642 · 0'7673 · 0'7704 · 0'7734 · 0'7764 · 0'7794 · 0'7823 · 0'7852

0'8 · 0'7881 · 0'7910 · 0'7939 · 0'7967 · 0'7995 · 0'8023 · 0'8051 · 0'8078 · 0'8106 · 0'8133

0'9 · 0'8159 · 0'8186 · 0'8212 · 0'8238 · 0'8264 · 0'8289 · 0'8315 · 0'8340 · 0'8365 · 0'8389

1'0 · 0'8413 · 0'8438 · 0'8461 · 0'8485 · 0'8508 · 0'8531 · 0'8554 · 0'8577 · 0'8599 · 0'8621

1'1 · 0'8643 · 0'8665 · 0'8686 · 0'8708 · 0'8729 · 0'8749 · 0'8770 · 0'8790 · 0'8810 · 0'8830

1'2 · 0'8849 · 0'8869 · 0'8888 · 0'8907 · 0'8925 · 0'8944 · 0'8962 · 0'8980 · 0'8997 · 0'9015

1'3 · 0'9032 · 0'9049 · 0'9066 · 0'9082 · 0'9099 · 0'9115 · 0'9131 · 0'9147 · 0'9162 · 0'9177

1'4 · 0'9192 · 0'9207 · 0'9222 · 0'9236 · 0'9251 · 0'9265 · 0'9279 · 0'9292 · 0'9306 · 0'9319

1'5 · 0'9332 · 0'9345 · 0'9357 · 0'9370 · 0'9382 · 0'9394 · 0'9406 · 0'9418 · 0'9429 · 0'9441

1'6 · 0'9452 · 0'9463 · 0'9474 · 0'9484 · 0'9495 · 0'9505 · 0'9515 · 0'9525 · 0'9535 · 0'9545

1'7 · 0'9554 · 0'9564 · 0'9573 · 0'9582 · 0'9591 · 0'9599 · 0'9608 · 0'9616 · 0'9625 · 0'9633

1'8 · 0'9641 · 0'9649 · 0'9656 · 0'9664 · 0'9671 · 0'9678 · 0'9686 · 0'9693 · 0'9699 · 0'9706

1'9 · 0'9713 · 0'9719 · 0'9726 · 0'9732 · 0'9738 · 0'9744 · 0'9750 · 0'9756 · 0'9761 · 0'9767

2'0 · 0'9772 · 0'9778 · 0'9783 · 0'9788 · 0'9793 · 0'9798 · 0'9803 · 0'9808 · 0'9812 · 0'9817

N(0,1): áreas limitadas por la curva desde -∞ hasta z

a)

Calcula el porcentaje de adultos que aguanta más de 57 segundos. [1 p]

%

b)

Calcula el porcentaje de adultos que aguanta entre 39 y 57 segundos. [1,5 p]

%