Examen de Matemáticas II PAU País Vasco 2022 · Extraordinaria

Ejercicio A1

Discute la existencia de soluciones del sistema de ecuaciones lineales que sigue en función de los valores del parámetro $\alpha$:

$$\begin{cases} \alpha x + 2y - 2z = 2, \\ 2x + 2y - 2z = \alpha, \\ \alpha x + 2y - z = 1. \end{cases}$$

Resuelve el sistema para $\alpha = 1$, si es posible.

a)

Discusión del sistema según los valores de $\alpha$:

b)

Solución del sistema para $\alpha = 1$:

$x =$

$y =$

$z =$

Ejercicio B1

Calcula de manera razonada, aplicando las propiedades adecuadas, el valor del determinante

$$\begin{vmatrix} a & b & c \\ p & q & r \\ x & y & z \end{vmatrix},$$

sabiendo que

$$\begin{vmatrix} p+a & q+b & r+c \\ 2x & 2y & 2z \\ p+x & q+y & r+z \end{vmatrix} = 6.$$

Ejercicio A2

Sea la recta de ecuación:

$$r \equiv \begin{cases} 3x + \alpha y + z = 1, \\ 2x + 6y - 2z = 6. \end{cases}$$

¿Existe algún valor de $\alpha$ para el cual el plano $\pi \equiv x + y + z = 1$ contenga a la recta dada? Razona la respuesta.

a)

¿Existe algún valor de $\alpha$ para el cual el plano $\pi$ contenga a la recta $r$?

Sí

No

b)

Razonamiento detallado:

Ejercicio B2

Encuentra las ecuaciones paramétricas de la recta:

$$r \equiv \begin{cases} 3x + y + z = 0 \\ x - y + 2z = 0. \end{cases}$$

$x =$

$y =$

$z =$

¿Existe algún valor de $s$ tal que el punto $(-3, s, s)$ pertenezca a la recta? Razona la respuesta.

Sí

No

Ejercicio A3

Calcula las rectas tangentes a la gráfica de la función $f(x) = 2x^3 - 3x + 1$ que son paralelas a la recta $y = 3x - 2$. Estudia los intervalos de crecimiento y decrecimiento de $f$.

a)

Rectas tangentes paralelas a $y = 3x - 2$:

b)

Intervalos de crecimiento y decrecimiento de $f$:

Ejercicio B3

Sea

$$f(x) = \begin{cases} x^2 + Ax, & \text{si } x \le 1, \\ Bx - A, & \text{si } x > 1. \end{cases}$$

(a)

Encuentra los valores de $A$ y $B$ para que $f$ sea derivable en toda la recta real.

$A =$

$B =$

(b)

Haz la representación gráfica de la función $f$ con los valores de $A$ y $B$ obtenidos en el apartado (a).

Ejercicio A4

Calcula

$$\int \ln(x^2 - 1) \, dx.$$

Dibuja el recinto del primer cuadrante limitado por las gráficas de las funciones $f(x) = x$, $g(x) = x/8$ y $h(x) = \frac{1}{x^2}$ y calcula el área de ese recinto.

Una urna $S$ contiene 5 bolas blancas y 3 negras. Otra urna $T$, 6 blancas y 4 negras. Elegimos una urna al azar y extraemos dos bolas.

(a)

¿Cuál es la probabilidad de que las dos bolas extraídas sean negras?

(b)

Si las dos bolas extraídas son negras, ¿cuál es la probabilidad de que la urna elegida haya sido la $T$?

Ejercicio B5

Un estudio ha mostrado que, en un cierto barrio, el $60\,\%$ de los hogares tienen al menos dos coches. Se elige al azar una muestra de $50$ hogares en el citado barrio. Se pide:

(a)

¿Cuál es la probabilidad de que al menos $20$ de los citados hogares tengan cuando menos dos coches?

(b)

¿Cuál es la probabilidad de que entre $30$ y $40$ hogares, ambos incluidos, tengan al menos dos coches?