Examen de Matemáticas II PAU País Vasco 2021 · Extraordinaria

PRIMERA PARTE. Ejercicio A1

Discutir el sistema de ecuaciones lineales que sigue, en función del parámetro $\alpha$:

$$\begin{cases} \alpha x + 2y - z = \alpha, \\ 2x + \alpha y + z = 2 + \alpha, \\ x - \alpha y + 2z = 2\alpha. \end{cases}$$

Resolver el sistema para $\alpha = 1$, si es posible.

$x =$

$y =$

$z =$

Ejercicio B1

Sean

$$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -2 & 1 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}, \quad C = \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}.$$

Calcular la matriz $X$ de orden $2 \times 2$ que verifica $A^2 \cdot X + B = C$.

Ejercicio A2

Sea $r$ la recta de ecuaciones paramétricas

$$\{x = t, \; y = 2 + 2t, \; z = 1 + 3t\},$$

y sean $A = (1, 2, 3)$ y $B = (3, 2, 1)$.

a)

Encontrar la ecuación del plano paralelo a la recta $r$ y que pasa por los puntos $A$ y $B$:

b)

Calcular la distancia de la recta $r$ a ese plano:

Ejercicio B2

Sean los puntos $A = (0, 2, 1)$, $B = (1, b, 0)$, $C = (-1, 0, 2)$ y $D = (1, 1, 1)$.

a)

Calcular el valor de $b$ para que $A, B, C$ y $D$ estén en el mismo plano:

b)

El plano que contiene a los puntos $A, B, C$ y $D$ es perpendicular al segmento $PQ$ y lo divide en dos partes iguales. Si $P = (1, 2, -3)$, calcular las coordenadas de $Q$:

(

,

,

)

Ejercicio A3

Estudiar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función $f(x) = \dfrac{x - 4}{x^2 - 4}$ y calcular sus máximos y sus mínimos.

1.

2.

3.

4.

5.

TERCERA PARTE (2,5 puntos). Responde solo a uno de los dos ejercicios.

Ejercicio B3

Sea $f(x) = x^4 + Ax^2 + Bx + C$. Obtener los valores de $A$, $B$ y $C$ para que en el punto de abscisa $x = 0$ la recta tangente a la gráfica de $f$ sea $y = 2x - 1$ y en el punto de abscisa $x = 1$ la recta tangente a la gráfica de $f$ sea horizontal. El extremo situado en el punto de abscisa $x = 1$, ¿es máximo o mínimo?

a)

b)

Máximo

Mínimo

CUARTA PARTE (2,5 puntos). Responde solo a uno de los dos ejercicios.

Ejercicio A4

Dibujar el recinto limitado por las parábolas $y = 4x - x^2$ e $y = x^2 - 6$ y calcular su área.

a)

Dibuja el recinto limitado por ambas parábolas indicando sus puntos de corte y vértices:

,

,

b)

Ejercicio B4

Calcular $\int x \ln(x + 1)\,dx$, explicando el método utilizado.

De los 700 estudiantes que tiene un centro escolar se sabe que 500 proceden del barrio donde está ubicado el centro, 575 utilizan el servicio de comedor y 400 son del barrio y utilizan el servicio de comedor. Se escoge un estudiante al azar.

a)

Si es del barrio, ¿cuál es la probabilidad de que use el servicio de comedor?

b)

Si usa el servicio de comedor, ¿cuál es la probabilidad de que no proceda del barrio?

c)

¿Cuál es la probabilidad de que sea del barrio o use el servicio de comedor?

d)

¿Cuál es la probabilidad de que no sea del barrio ni utilice el servicio de comedor?

Ejercicio B5

La estatura de los individuos de una población sigue una distribución normal de media $1{,}74\text{ cm}$ y desviación típica $0{,}05\text{ cm}$. Se elige un individuo al azar.

a)

¿Cuál es la probabilidad de que tenga una estatura igual o inferior a la media?

b)

¿Cuál es la probabilidad que su estatura esté comprendida entre $1{,}64$ y $1{,}84\text{ cm}$?

c)

Si la población está compuesta por $1500$ individuos, ¿Cuántos tienen una estatura inferior a $1{,}54\text{ cm}$?