Examen de Matemáticas II PAU País Vasco 2026 · Extraordinaria

PRIMER EJERCICIO (2 puntos)

Una central lechera recoge leche de tres productores locales, A, B y C. El productor A lleva su leche en recipientes de 10 litros y se le paga a 5 € por cada recipiente. La productora B utiliza recipientes de 15 litros y recibe 9 € por cada recipiente. Por último, la productora C aporta recipientes de 12 litros y se le paga a 4 € por cada uno. En la última semana, se han recogido un total de 612 litros de leche, en 48 recipientes y se debe pagar en total 304 €, a repartir entre los tres ganaderos.

(a)

(1 punto) Plantea el sistema de ecuaciones que modeliza la situación descrita.

(b)

(1 punto) ¿Cuánto se debe pagar a cada productor por la leche que ha llevado a la central la última semana?

€

€

€

SEGUNDO EJERCICIO (2 puntos)

Sea $f(x) = x^3 + Ax^2 + Bx + C$.

(a)

(1,5 puntos) Encuentra los valores de $A$, $B$ y $C$ para que la tangente a la gráfica de $f$ en el punto de abscisa $x = 0$ sea la recta $y = 3 - 3x$ y $f$ tenga un extremo relativo en $x = 1$.

(b)

(0,5 puntos) El extremo relativo de $f$ en el punto $x = 1$, ¿es un máximo o un mínimo?

Mínimo

Máximo

TERCER EJERCICIO (2 puntos)

Se ha realizado un estudio de la venta de coches del año 2025 en España. De un total de 1.148.650 unidades vendidas, el 10 % corresponde a coches totalmente eléctricos, siendo todos ellos de cambio automático; el 52 % de las unidades vendidas corresponde a coches híbridos, siendo de cambio manual el 6 % de ellos; del resto de unidades vendidas, tienen cambio automático el 53 % de ellos.

(a)

(1 punto) Calcula la cantidad de coches con cambio automático vendidos en España en 2025.

(b)

(1 punto) Elegido al azar un coche vendido en España en 2025 y sabiendo que tiene cambio automático, calcula la probabilidad de que sea híbrido.

(4A) Sea $P$ el punto de corte de las rectas

$$r_1 \equiv \begin{cases} x = 1 + t, \\ y = 0, \\ z = -t; \end{cases} \qquad r_2 \equiv \begin{cases} x = s, \\ y = -1 + s, \\ z = 0. \end{cases}$$

Calcula el punto $P'$ simétrico de $P$ con respecto al plano de ecuación $2x + y - z = 3$.

a)

b)

(4B) Sea $r$ la recta que pasa por el punto $P(1, 7, 4)$ y cuyo vector director es $\vec{v} = (6, 3, -5)$ y sea $\pi \equiv 2x + y - 3z = -13$.

a)

Calcula el punto de corte de la recta $r$ con el plano $\pi$.

b)

Calcula el ángulo mínimo formado por la recta $r$ y el plano $\pi$.

°

(5A) Calcula la integral

$$\int \frac{x^2 - 2x + 3}{x^2 - x - 2}\, dx,$$

explicando los pasos realizados.

(5B)

(a)

Dibuja el recinto limitado por la parábola de ecuación $y = x^2 - \pi^2$ y la gráfica de la función $f(x) = \cos(x/2)$.

(b)

Calcula el área del recinto del apartado anterior, escribiendo el resultado en función del número $\pi$.