Examen de Matemáticas II PAU Galicia 2022 · Ordinaria

1. Números y Álgebra

Despeje $X$ de la ecuación matricial $AB(X - I) = C$, donde $I$ es la matriz identidad (asuma que el producto $AB$ tiene inversa). Luego, calcule $X$ si

$$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 2 \end{pmatrix} \quad \text{y} \quad C = \begin{pmatrix} 2 & 2 & 4 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}.$$

2. Números y Álgebra

Discuta, según los valores del parámetro $m$, el sistema

$\begin{cases}

x + (m - 3)y + mz = 1, \\

(m - 3)y + (m^2 - m)z = 1, \\

x + m^2z = 0.

\end{cases}$

3. Análisis

a)

Calcule los límites $\lim_{x \to 0} \frac{x \cos x}{\sin x}$ y $\lim_{x \to 0^+} x \ln x$, donde $\ln x$ es el logaritmo neperiano de $x$.

3. Análisis

b)

Dibuje la gráfica de una función $f$ continua y no negativa en el intervalo $[0,3]$ tal que: $f(0) = 0$, $f(3) = 0$, $f'' > 0$ en el intervalo $(0,1)$, $f'' < 0$ en el intervalo $(2,3)$ y $f$ es constante en el intervalo $(1,2)$.

4. Análisis

Obtenga la función $f$, sabiendo que $f''(x) = 2x - e^{-x}$ y que la ecuación de la recta tangente a la gráfica de $f$ en el punto de abscisa $x = 0$ es $y = 3x - 1$.

$f(x) =$

5. Geometría

5. Geometría

a)

Obtenga la ecuación implícita o general del plano $\pi$ que pasa por el punto $P(1,-1,0)$ y es perpendicular a la recta $r:\begin{cases}x = 1 + \lambda, \\ y = -1, \\ z = 0,\end{cases} \quad \lambda \in \mathbb{R}$.

5. Geometría

5. Geometría

b)

Calcule los dos puntos de la recta $r:\begin{cases}x = \lambda, \\ y = \lambda, \\ z = \lambda,\end{cases} \quad \lambda \in \mathbb{R}$, cuya distancia al plano $\pi: x - 1 = 0$ es igual a $2$.

6. Geometría

a)

Halle los valores de $k$ y de $m$ que hacen que los puntos $A(k, 3, m)$, $B(2, 0, 2)$ y $C(k, 2, 0)$ estén alineados.

b)

Estudie la posición relativa de las rectas $r: \frac{x-1}{2} = \frac{y+1}{3} = \frac{z-2}{2}$ y $s: \frac{x+2}{3} = \frac{y+3}{2} = \frac{z+1}{3}$. Si se cortan, calcule el punto de corte.

7. Estadística y Probabilidad

a)

Si $P(A \cup B) = \frac{1}{3}$ y $P(B) = \frac{1}{4}$, calcule $P(A)$ sabiendo que $A$ y $B$ son sucesos incompatibles. ¿Cuánto valdría $P(A)$ si supusiéramos que $A$ y $B$ son, en lugar de incompatibles, independientes?

b)

En una cierta ciudad, el $21\%$ de las personas leen ciencia ficción, el $63\%$ leen novela negra, y el $17\%$ leen tanto ciencia ficción como novela negra. Si se elige al azar una persona de esa ciudad, calcule:

La probabilidad de que lea novela negra sabiendo que lee ciencia ficción.

La probabilidad de que no lea ni ciencia ficción ni novela negra.

8. Estadística y Probabilidad

a)

Calcule el valor de $P(-2 \le X \le 7)$ si $X$ sigue una distribución normal de media $1$ y desviación típica $3$.

b)

Calcule el valor de $\alpha$ que hace que $P(\mu - \alpha \le X \le \mu + \alpha) = 0.8064$ si $X$ sigue una distribución normal de media $\mu$ y desviación típica $4$.