Examen de Matemáticas II PAU Galicia 2026 · Ordinaria

PREGUNTA 1. ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD. (2 puntos)

CONTEXTO

Renfe opera un servicio Alvia entre Santiago de Compostela y Barcelona-Sants. Los datos históricos muestran que, en condiciones operativas habituales, el tiempo de viaje sigue una distribución normal con una media de 765 minutos y una desviación típica de 18 minutos.

Sin embargo, durante los meses de invierno es frecuente que se produzcan incidencias meteorológicas que obligan a reducir la velocidad en ciertos tramos de la ruta. Esto ocurre aproximadamente el 30 % de los días de la temporada. Cuando se activa el protocolo por incidencia, la distribución del tiempo de viaje sigue siendo normal, pero pasa a tener una media de 810 minutos y una desviación típica de 40 minutos.

La compañía ferroviaria define que existe un “retraso significativo” cuando el tiempo de viaje supera los 780 minutos en un día sin incidencias, o los 840 minutos en un día con incidencia meteorológica declarada.

(Será preciso usar alguno o algunos de los siguientes valores, aunque no todos (entiéndase que $Z$ sigue una distribución $N(0,1)$): $P(Z \le 0.3) = 0.6179$, $P(Z \le 0.75) = 0.7734$, $P(Z \le 0.83) = 0.7967$, $P(Z \le 1.125) = 0.8697$, $P(Z \le 4.16) = 1$.)

1.1.

Por el contexto, se sabe que $P(R|\bar{I}) = P(X > 780)$ y que $P(R|I) = P(Y > 840)$. Explique el significado de los sucesos $I$ y $R$ y de las variables aleatorias $X$ e $Y$. Luego, determine la probabilidad de que, seleccionando al azar un día de la temporada invernal, este tren Alvia experimente un retraso significativo según la definición de la compañía.

1.2.

Calcule la probabilidad de que, en un día con incidencia meteorológica activa, el tren complete su viaje en un tiempo inferior a 765 minutos, que es el tiempo medio en condiciones habituales.

Considérese la igualdad matricial $A(X - I)B = C$, donde $X$ es cuadrada e $I$ es la matriz identidad.

2.1.1.

Despeje $X$ suponiendo que $A$ y $B$ son cuadradas e invertibles.

2.1.2.

¿Qué dimensiones tienen $X$ y $B$ si $A$ y $C$ son matrices $1 \times 2$? Obtenga $X$, simétrica y tal que los elementos de su diagonal sumen $0$, si $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \end{pmatrix}$, $B = I$ y $C = \begin{pmatrix} 0 & 0 \end{pmatrix}$.

Dimensión de $X$:

Dimensión de $B$:

2.2. Discuta, según los valores del parámetro $m$, el sistema

$\begin{cases}

(m - 4)x & & + & 5z & = & 9, \\

& (m - 1)y & + & 6z & = & m + 8, \\

(m - 4)x & + (m - 1)y & + & 7z & = & m + 9.

\end{cases}$

Para cada uno de los siguientes casos, dibuje, cuando sea posible, la gráfica de una función que cumpla las propiedades indicadas:

a)

Continua pero no derivable en $x = 0$.

b)

Continua en $[a, b]$, con $f(a)f(b) < 0$, y cuya gráfica corte al eje $x$ en más de un punto del intervalo $(a, b)$.

c)

Continua en $[a, b]$, derivable en $(a, b)$, con $f(a)f(b) < 0$, $f' > 0$ en $(a, b)$, y cuya gráfica corte al eje $x$ en más de un punto del intervalo $(a, b)$.

d)

Dos veces derivable en $\mathbb{R}$, con $f'' > 0$ en $\mathbb{R}$ y monótona en $\mathbb{R}$.

Calcule los siguientes límites:

a)

$$\lim_{x \to 1} \frac{\ln x}{x}$$

b)

$$\lim_{x \to 1} \frac{x - 1}{\ln x}$$

c)

$$\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{\sin x}$$

d)

$$\lim_{x \to 0^+} \sqrt{x} \ln x$$

Calcule el valor que tiene que tomar el parámetro positivo $a$ para que el área de la región encerrada por la gráfica de la función $f(x) = ax^2 - 2ax$ y el eje $x$ sea igual a 10 unidades de superficie. Haga un dibujo de la región.

a)

b)

Sea $r$ la recta que pasa por el origen y por $P'$, siendo $P'$ el punto simétrico de $P(1,0,1)$ con respecto al punto $Q(0,1,0)$. Se pide:

4.1.1.

Obtenga $P'$ y las ecuaciones paramétricas de $r$.

$P'($

$,$

$,$

$)$

$x =$

$y =$

$z =$

4.1.2.

Determine la ecuación implícita del plano que pasa por el origen y es perpendicular a $r$.

$= 0$

4.2. Considérense los puntos $P(1,0,1)$, $Q(0,1,0)$ y $R(1,1,1)$.

4.2.1.

Demuestre que $P$, $Q$ y $R$ no están alineados y obtenga la ecuación implícita del plano $\pi$ que pasa por ellos.

4.2.2.

Calcule el valor o valores de $a$ que hacen que la distancia del punto $S(a,0,0)$ a ese plano $\pi$ sea igual a $\sqrt{2}$ unidades de longitud.