Examen de Matemáticas II PAU Galicia 2021 · Ordinaria

Sea $A = (a_{ij})$ la matriz de dimensión $3 \times 3$ definida por $a_{ij} = \begin{cases} 1 & \text{si } i = 2, \\ (-1)^j(i - 1) & \text{si } i \neq 2. \end{cases}$

Explique si $A$ y $A + I$ son o no invertibles y calcule las inversas cuando existan.

(Nota: $a_{ij}$ es el elemento de $A$ que está en la fila $i$ y en la columna $j$, e $I$ es la matriz identidad.)

2. Números y Álgebra:

Discuta, según los valores del parámetro $m$, el sistema:

$$\begin{cases} x + 2y = m, \\ my + 3z = 1, \\ x + (m + 2)y + (m + 1)z = m + 1. \end{cases}$$

3. Análisis:

De entre todos los rectángulos situados en el primer cuadrante que tienen dos lados sobre los ejes de coordenadas y un vértice sobre la recta $x + 2y = 4$, determine los vértices del que tiene mayor área.

4. Análisis:

Dada la función $f(x) = \begin{cases} x^2 - x - 1 & \text{si } x \leq 0, \\ -x^2 - x - 1 & \text{si } x > 0, \end{cases}$ calcule el área de la región encerrada por la gráfica de $f$ y las rectas $y = 4x - 7$ e $y = 1$.

a)

b)

c)

d)

5. Geometría:

a)

Obtenga la ecuación implícita del plano $\pi$ que pasa por los puntos $A(1,0,0)$, $B(0,2,0)$ y $C(0,0,3)$.

5. Geometría:

b)

Calcule el punto simétrico de $P(10,-5,5)$ con respecto al plano $\pi: 6x + 3y + 2z - 6 = 0$.

$P'($

,

,

$)$

6. Geometría:

a)

Halle el valor de $a$ si el plano $\pi: ax + y + z = 0$ es paralelo a la recta $r: \begin{cases} x = 1 + \lambda, \\ y = 1 + \lambda, & \lambda \in \mathbb{R}. \\ z = 2 + \lambda, \end{cases}$

b)

Estudie la posición relativa de los planos $\pi_1: 2x + y + mz + m = 0$ y $\pi_2: (m - 1)x + y + 3z = 0$ en función del parámetro $m$.

7. Estadística y Probabilidad:

a)

Sean $A$ y $B$ dos sucesos de un mismo espacio muestral. Calcule $P(A)$ sabiendo que $P(B) = 2P(A)$, $P(A \cap B) = 0.1$ y $P(A \cup B) = 0.8$.

b)

Diga si los sucesos $A$ y $B$ son o no independientes, si se sabe que

$$P(A) = 0.6,\quad P(B) = 0.3\quad \text{y}\quad P(\bar{A} \cup \bar{B}) = 0.82.$$

8. Estadística y Probabilidad:

El portador de una cierta enfermedad tiene un 10% de probabilidades de contagiarla a quien no estuvo expuesto a ella. Si entra en contacto con 8 personas que no estuvieron expuestas, calcule:

a)

La probabilidad de que contagie a un máximo de 2 personas.

b)

La probabilidad de que contagie a 2 personas por lo menos.