Examen de Matemáticas II PAU Galicia 2023 · Ordinaria

1. Números y Álgebra:

Despeje la matriz $X$ de la ecuación $XA = A + XB$, si $A$ y $B$ son matrices cuadradas tales que $A - B$ es invertible. Luego, calcule $X$ si $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ y $B = (A^2 - A - I)^{-1}$, donde $I$ es la matriz identidad de orden 2.

$X =$

$x_{11} =$

$x_{12} =$

$x_{21} =$

$x_{22} =$

2. Números y Álgebra:

Discuta, según los valores de $m$, el sistema:

$$\begin{cases} mx + (2 + m^2)y = 1 + m, \\ my - z = 1, \\ mx + 2y + (2m - 4)z = 5. \end{cases}$$

3. Análisis:

a) Si $f(x) = ae^x + b$, diga qué valores deben tener $a$ y $b$ para que se cumplan $f(0) = 0$ y $\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x} = 3$.

1.

2.

3. Análisis:

b)

Estudie si la función $f(x) = x + \sin x$ tiene extremos o puntos de inflexión en el intervalo $(0,2\pi)$, diga dónde están en caso de que existan y esboce la gráfica de $f$ en ese intervalo.

4. Análisis:

Calcule el área de la región determinada por las desigualdades $x \ge 1$, $y \le x$ e $y \ge f(x)$, con $f(x) = x \ln x$. Haga un esbozo gráfico de la región. Nota: $\ln x$ es el logaritmo neperiano de $x$.

1.

2.

5. Geometría:

a) Obtenga las ecuaciones paramétricas de la recta $r$ que pasa por los puntos $P(2,-1,0)$ y $Q(3,0,0)$ y la ecuación implícita o general del plano $\pi$ que pasa por el punto $R(0,4,-2)$ y es paralelo a los vectores $\vec{u}(1,0,-1)$ y $\vec{v}(2,1,-2)$.

1.

$x =$

$y =$

$z =$

2.

5. Geometría:

b) Calcule el ángulo agudo que forma la recta $r: \frac{x-2}{1} = \frac{y+1}{1} = \frac{z}{0}$ con el plano $\pi: x + z + 2 = 0$.

1.

6. Geometría:

a) Calcule el punto simétrico de $P(2,-1,0)$ con respecto al plano $\pi: x + z + 2 = 0$.

1.

$x' =$

$y' =$

$z' =$

6. Geometría:

b)

Estudie la posición relativa de las rectas $r: \frac{x-2}{1} = \frac{y+1}{1} = \frac{z}{0}$ y $s: \frac{x-2}{2} = \frac{y+2}{1} = \frac{z+1}{-1}$. Si se cortan, calcule el punto de corte.

(

,

,

)

7. Estadística y Probabilidad:

a)

Calcule las cuatro probabilidades $P(A)$, $P(A \cap \bar{B})$, $P(A|B)$ y $P(B|A)$ sabiendo que $P(A \cup B) = 0.8$, $P(A \cap B) = 0.2$ y $P(A) = 2P(B)$. Nota: $\bar{B}$ es el suceso contrario o complementario de $B$.

b)

En un conocido congreso, el 60% de los científicos inscritos participan online y el resto asisten en persona. Además, el 65% de los inscritos son europeos y el 80% de los que asisten en persona también lo son. Si se elige al azar a uno de los inscritos, calcule la probabilidad de que sea europeo y, a la vez, participe online; luego, la de que participe online si se sabe que es europeo.

8. Estadística y Probabilidad

a)

En un cierto humedal, la probabilidad de que un renacuajo llegue a rana adulta es del 2%. Si se escogen al azar 2500 de esos renacuajos, ¿cuál es la probabilidad de que al menos 55 de ellos lleguen a ranas adultas?

b)

Para conceder becas de estudio, un organismo valora los méritos presentados y asigna a cada candidato una puntuación que indica más méritos cuanto mayor es su valor. Este año, la puntuación sigue una distribución normal de media 100 y desviación típica 20, y se toma la decisión de conceder la beca al 5% mejor del conjunto de solicitantes. ¿Qué puntuación es preciso alcanzar para obtener la beca?