Examen de Matemáticas II PAU Galicia 2024 · Ordinaria

PREGUNTA 1. Números y Álgebra. (2 puntos)

Sean $A$ y $B$ dos matrices tales que $A + 2B = \begin{pmatrix} 6 & -3 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}$ y $A + B = \begin{pmatrix} 4 & -1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$.

a)

Calcule $A^2$.

b)

Calcule la matriz $X$ que satisface la igualdad $A^2 X - (A + B)^T = 3I - 2X$, siendo $I$ la matriz identidad de orden 2 y $(A + B)^T$ la traspuesta de $(A + B)$.

PREGUNTA 2. Números y Álgebra. (2 puntos)

Discuta, según los valores del parámetro $m$, el siguiente sistema:

$$\begin{cases} mx + (m + 2)y + z = 3, \\ 2mx + 3my + 2z = 5, \\ (m - 4)y + mz = m. \end{cases}$$

PREGUNTA 3. Análisis. (2 puntos)

a)

Enuncie los teoremas de Rolle y de Bolzano.

PREGUNTA 3. Análisis. (2 puntos)

b)

Calcule $\int x^3 e^{x^2} dx$.

PREGUNTA 4. Análisis. (2 puntos)

Calcule los siguientes límites:

a)

$$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x - \ln(1+x)}{x \sin x}$$

b)

$$\lim_{x \to 0} \frac{e^{\sin x} - e^x}{x^2}$$

PREGUNTA 5. Geometría. (2 puntos)

a)

Considérese el plano $\pi: 4x + 2y + bz = 2$ y la recta $r: \frac{x-2}{3} = \frac{y-c}{2} = \frac{z-3}{4}$, donde $b$ y $c$ son parámetros reales. Calcule los valores que tienen que tomar $b$ y $c$ para que la recta $r$ esté contenida en $\pi$.

PREGUNTA 5. Geometría. (2 puntos)

b)

Calcule la distancia del punto $P(1,3,1)$ al plano $\pi': 4x + 2y - 4z = 2$.

PREGUNTA 6. Geometría. (2 puntos)

a)

Considérense los puntos $Q(-1, 3, -5)$, $R(3, 1, 0)$ y $S(0, 1, 2)$. Obtenga la ecuación implícita o general del plano $\pi$ que contiene a $Q$, $R$ y $S$.

b)

Obtenga las ecuaciones paramétricas y la ecuación continua de la recta que pasa por el punto $P(3, -1, -1)$ y sea perpendicular al plano $\pi: 4x + 23y + 6z - 35 = 0$.

$x =$

$y =$

$z =$

PREGUNTA 7. Estadística y Probabilidad. (2 puntos)

Sabiendo que $P(A) = \frac{1}{3}$ y $P(B) = \frac{1}{2}$:

(Nota: $\bar{A}$ y $\bar{B}$ son los sucesos contrarios o complementarios de $A$ y $B$, respectivamente).

a)

Suponiendo que $A$ y $B$ son sucesos independientes, calcule $P(A \cup B)$ y $P(\bar{A}|(\bar{A} \cup \bar{B}))$.

b)

Suponiendo que $A$ y $B$ son sucesos incompatibles, calcule $P(A \cup B)$ y $P(\bar{A}|(\bar{A} \cup \bar{B}))$.

PREGUNTA 8. Estadística y Probabilidad. (2 puntos)

Una máquina que distribuye agua en botellas echa una cantidad de agua que sigue una distribución normal con media igual a $500$ mililitros y desviación típica igual a $4$ mililitros.

a)

Si elegimos al azar una de las botellas, ¿cuál es la probabilidad de que lleve entre $499$ y $502$ mililitros?

b)

¿Cuál es la cantidad de agua, en mililitros, excedida por el $97,5\%$ de estas botellas?