Examen de Matemáticas II PAU Galicia 2022 · Extraordinaria

1. Números y Álgebra

a)

Obtenga la matriz antisimétrica $A$ de orden $2 \times 2$ tal que $a_{12} = 1$. Luego, calcule su inversa en caso de que exista. Nota: $a_{ij}$ es el elemento que está en la fila $i$ y en la columna $j$ de $A$.

$A = \left(\vphantom{\begin{matrix} 0 \end{matrix}}\right.$

$\left.\vphantom{\begin{matrix} 0 \end{matrix}}\right) \quad \left(\vphantom{\begin{matrix} 0 \end{matrix}}\right.$

$\left.\vphantom{\begin{matrix} 0 \end{matrix}}\right)$

$A^{-1} = \left(\vphantom{\begin{matrix} 0 \end{matrix}}\right.$

$\left.\vphantom{\begin{matrix} 0 \end{matrix}}\right) \quad \left(\vphantom{\begin{matrix} 0 \end{matrix}}\right.$

$\left.\vphantom{\begin{matrix} 0 \end{matrix}}\right)$

b)

Sea $A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$. Si $B = \begin{pmatrix} 0 & b_{12} \\ 1 & b_{22} \end{pmatrix}$, halle los valores de $b_{12}$ y de $b_{22}$ sabiendo que $B$ no tiene inversa y que $\det(A^{-1}B + A) = -1$.

2. Números y Álgebra

Discuta, según los valores del parámetro $m$, el sistema$$\begin{cases} (m + 1)x + my + z = 0, \\ \phantom{(m+1)x+{}} y + (m - 2)z = -2, \\ (m + 1)x + my + (m - 1)z = -3. \end{cases}$$

3. Análisis

a)

Obtenga las coordenadas de los vértices del triángulo rectángulo cuya hipotenusa es tangente a la gráfica de $f(x) = x^2$ en el punto de abscisa $x = 2$ y que, además, tiene un cateto de longitud 2 situado sobre el eje $X$. Dibuje la gráfica de $f$, la recta tangente y el triángulo.

$y =$

Vértice sobre el punto de tangencia o corte con el eje $X$: $A($

,

$)$

Segundo vértice sobre el eje $X$: $B($

,

$)$

Tercer vértice (superior): $C($

,

$)$

3. Análisis

b)

Halle los valores de $a$ y $b$ que hacen que la función

$$f(x) = \begin{cases} 1 & \text{si } x \le 1 \\ ax^2 + bx & \text{si } x > 1 \end{cases}$$

sea derivable.

4. Análisis

Calcule las siguientes integrales:

a)

$\int 2x\sqrt{x^2 + 1}\,dx$

b)

$\int (\sin x)\sin(\cos x)\,dx$

c)

$\int x^2 \sin x\,dx$

d)

$\int \frac{1}{(x-1)(x-2)}\,dx$

5. Geometría

5. Geometría

a)

Obtenga la ecuación implícita o general del plano $\pi$ que contiene a la recta $r: \frac{x+1}{3} = \frac{y+2}{2} = \frac{z+3}{1}$ y pasa por el punto $P(0,1,0)$.

5. Geometría

5. Geometría

b)

Calcule el punto simétrico de $P(11,-14,13)$ con respecto al plano $\pi: 3x - 8y + 7z + 8 = 0$.

$($ $,$ $,$ $)$

Estudie la posición relativa de la recta $r: \frac{x+1}{1} = \frac{y-1}{k} = \frac{z}{3}$ y el plano $\pi: ax + 4y + 3az + 2 = 0$ en función de los parámetros $k$ y $a$. Luego, si es posible, diga cuándo $r$ es perpendicular a $\pi$.

1.

2.

$a =$ $k =$

3.

4.

7. Estadística y Probabilidad

a) En una famosa biblioteca, el 70% de los libros son novelas, el 40% son clásicos anteriores al siglo XIX y el 60% de los clásicos son novelas. Si se elige en esa biblioteca un libro al azar, calcule la probabilidad de que no sea una novela, pero sí un clásico, y la probabilidad de que sea un clásico sabiendo que es una novela.

7. Estadística y Probabilidad

b) En un cierto país, el 80% de los delitos contra la propiedad quedan sin resolver. Si en una localidad de ese país se cometieron 3 de esos delitos, calcule la probabilidad de que se resuelva por lo menos 1.

8. Estadística y Probabilidad

a)

Se hace un examen tipo test con 60 preguntas y 4 opciones por pregunta, de las que solo una es correcta. Calcule la probabilidad de acertar por lo menos 16 preguntas si se responden las 60 al azar.

b)

Si $X$ sigue una distribución normal de media 25 y desviación típica 2, calcule $P(X < 24)$. Luego, calcule el valor de $\alpha > 0$ tal que $P(25 - \alpha < X < 25 + \alpha) = 0.2128$.