Examen de Matemáticas II PAU Castilla y León 2023 · Extraordinaria

E1.- (Álgebra)

a)

Obtener todas las soluciones del sistema

$$\begin{cases} x + y + z = 1 \\ x + 2y - z = 3 \end{cases}$$

b)

Determinar todos los $a, b \in \mathbb{R}$ para que $x = 5, y = -2, z = -2$ sea solución del sistema

$$\begin{cases} x + y + z = 1 \\ x + 2y - z = 3 \\ ax + 2ay + bz = b \end{cases}$$

¿Para cuáles de esos valores la solución del sistema es única?

E2.- (Álgebra)

Dadas las matrices

$$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & a \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \quad \text{y} \quad B = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ a & 0 \\ 3 & -1 \end{pmatrix} \quad \text{con } a \in \mathbb{R} - \{0\}.$$

a)

Calcular la matriz $C$, siendo $c_{11} = 2$, tal que $AC = B$.

b)

Si $D = B^t A$ siendo $B^t$ la traspuesta de $B$, determinar los valores de $a$ para los que $D$ tiene matriz inversa.

E3.- (Geometría)

Dadas las rectas

$$r_1 \equiv \begin{cases} x = 1 + t \\ y = 2t \\ z = -1 + t \end{cases}, t \in \mathbb{R}, \quad y \quad r_2 \equiv \frac{x-1}{3} = \frac{y}{2} = \frac{z}{2}.$$

a)

Razonar si existe un plano perpendicular a $r_2$ que contenga a $r_1$.

b)

Calcular la recta con vector director perpendicular a los de las rectas $r_1$ y $r_2$ y que contiene al punto $(1,0,0)$.

E4.- (Geometría)

Sea $r$ la recta que pasa por los puntos $(1, 0, -1)$ y $(0, 1, 1)$, y el punto $P = (0, 0, 1)$.

a)

Determinar el plano que contiene a la recta $r$ y al punto $P = (0,0,1)$.

E4.- (Geometría)

Sea $r$ la recta que pasa por los puntos $(1, 0, -1)$ y $(0, 1, 1)$, y el punto $P = (0, 0, 1)$.

b)

Calcular la distancia de la recta $r$ al punto $P = (0,0,1)$. (1 punto)

Sea $$f(x) = \begin{cases} \dfrac{1}{2 - x} & \text{si } x < 1 \\ \ln(x) & \text{si } x \ge 1 \end{cases}$$

a)

Estudiar su continuidad y derivabilidad en $x = 1$.

(1 punto)

Sea $$f(x) = \begin{cases} \dfrac{1}{2 - x} & \text{si } x < 1 \\ \ln(x) & \text{si } x \ge 1 \end{cases}$$

b)

Estudiar sus asíntotas verticales y horizontales. [1 punto]

Dada la función $f(x) = x^2(x + 3)$, determinar su dominio de definición, puntos de corte de su gráfica con los ejes, intervalos de crecimiento y decrecimiento y extremos relativos. (2 puntos)

E7.- (Análisis)

Calcular:

a)

$$\lim_{x \to 0} \frac{\operatorname{sen}(x^2)}{x^3 + 4x^2}$$ (1 punto)

$\frac{0}{0}$

$\frac{\infty}{\infty}$

$0 \cdot \infty$

E7.- (Análisis)

Calcular:

b)

Calcular $\int_0^\pi \operatorname{sen}(x)\cos^3(x)\,dx$

[1 punto]

E8.- (Análisis)

Dadas las funciones $f(x) = -x^2$ y $g(x) = x^3$.

a)

Comprobar que las gráficas de dichas funciones en $[-1,0]$ sólo se cortan para $x = -1$ y $x = 0$.

Demostrar que en $[-1,0]$ $g(x) \ge f(x)$. [1 punto]

b)

Hallar el área del recinto limitado por las gráficas de dichas funciones.

[1 punto]

E9.- (Probabilidad y Estadística)

Sean $A$, $B$ y $C$ sucesos de un experimento aleatorio con probabilidades $P(A) = 0{,}3$, $P(B) = 0{,}4$ y $P(C) = 0{,}5$ tales que $A$ y $B$ son independientes y $A$ y $C$ son incompatibles.

Calcular las probabilidades $P(A \cap B)$, $P(A \cap C)$, $P(A \cap \bar{C})$, $P(A \cup B)$ y $P(\bar{A} \cup \bar{B})$ siendo $\bar{A}$, $\bar{B}$ y $\bar{C}$ los sucesos complementarios de $A$, $B$ y $C$ respectivamente.

[2 puntos]

E10.- (Probabilidad y Estadística)

De las camionetas que recogen los envases reciclados de una localidad el 45% son de la marca C1, el 30% de la marca C2 y el 25% de la marca C3. La probabilidad de que una camioneta se averíe es: 0,02 si es de la marca C1, 0,05 si es de la marca C2 y 0,04 si es de la marca C3.

a)

Indicar las 6 probabilidades que aparecen en el enunciado [0,6 puntos]

b)

Si se selecciona una de esas camionetas al azar ¿qué probabilidad tiene de averiarse? [0,7 puntos]

c)

Suponiendo que una de esas camionetas se ha averiado, ¿cuál es la probabilidad de que haya sido una camioneta de la marca C3? [0,7 puntos]