Examen de Matemáticas II PAU Castilla y León 2021 · Extraordinaria

E1.- (Álgebra)

a)

Discutir según los valores del parámetro $\lambda$ el sistema de ecuaciones lineales siguiente:

$$\begin{cases} x + y + z = 0 \\ x - \lambda y = 1 \\ 2x + \lambda z = 1 \end{cases}$$

[1,2 puntos]

b)

Resolverlo para $\lambda = 1$.

[0,8 puntos]

Expresa la solución en función del parámetro $t$ (o $\lambda$, si consideras una variable libre). Por ejemplo, tomando $z = t$, escribe $x$ e $y$ en términos de $t$.

E2.- (Álgebra)

Dadas las matrices:

$$M = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \quad \text{y} \quad N = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$$

Hallar la matriz $P$ que verifica que $M^{-1} P M = N$. [2 puntos]

E3.- (Geometría)

Dadas las rectas $r \equiv x = y + 1 = \dfrac{z - 2}{2}$ y $s \equiv \begin{cases} x - y + 3 = 0 \\ 2x - z + 3 = 0 \end{cases}$, se pide:

a)

Determinar la posición relativa de $r$ y $s$. [1 punto]

b)

Hallar la ecuación del plano que contiene a $r$ y $s$. [1 punto]

E4.- (Geometría)

Dada la recta $r \equiv x - 1 = \frac{y - 2}{-1} = \frac{z - 1}{2}$

a)

Calcular el plano $\pi_1$ que pasa por $A = (1, 2, 3)$ y es perpendicular a la recta $r$. [0,5 puntos]

b)

Calcular el plano $\pi_2$ que pasa por $B = (-1, 1, -1)$ y contiene a la recta $r$. [1,5 puntos]

E5.- (Análisis) Dada la función $f(x) = x^5 - 5x - 1$, determínense sus intervalos de crecimiento y decrecimiento, sus extremos relativos, sus intervalos de concavidad y convexidad y sus puntos de inflexión. (2 puntos)

1.

2.

3.

4.

5.

E6.- (Análisis)

Calcular el valor de $m > 0$ para el cual se verifica que $\lim_{x \to 0} \frac{1-\cos(mx)}{x^2} = 2$. (2 puntos)

E7.- (Análisis)

E7.- (Análisis)

a)

Estudiar la continuidad de la función definida por $$f(x) = \begin{cases} \dfrac{1-\cos x}{x} &, \text{ si } x \neq 0 \\ 0 &, \text{ si } x = 0 \end{cases}$$

E7.- (Análisis)

E7.- (Análisis)

b)

Calcular $\int x \ln(x^2)\, dx$. (1 punto)

E8.- (Análisis)

Se considera la función $f(x) = x - \cos(x)$

a)

Demostrar que la ecuación $f(x) = 0$ tiene al menos una solución en el intervalo $[0, \pi/2]$. (1 punto)

b)

Probar que la ecuación $f(x) = 0$ solo puede tener una solución en el intervalo $[0, \pi/2]$, de modo que la solución del apartado anterior es la única. (1 punto)

E9.- (Probabilidad y Estadística)

Dentro de una caja hay bolas de varios colores que tienen todas el mismo tamaño y aspecto, siendo algunas de madera y las otras de metacrilato. Concretamente:

El 48% son blancas y entre ellas dos tercios son de madera.

El 24% son rojas, y de ellas las tres cuartas partes son de madera.

El 28% son verdes, de las cuales la mitad son de madera.

Considerando los sucesos: $B = \text{"ser blanca"}$, $R = \text{"ser roja"}$, $V = \text{"ser verde"}$ y $M = \text{"ser de madera"}$

a)

Indicar cuales son los valores de $P(M/B)$, $P(M/R)$ y $P(M/V)$. [0’3 puntos]

b)

Calcular la probabilidad de que al sacar al azar una de las bolas de la caja, sea de madera. [0’7 puntos]

c)

Si solo sabemos que una de las bolas de la caja, elegida al azar, es de madera, ¿cual es la probabilidad de que sea blanca? [1 punto]

E10.- (Probabilidad y Estadística)

Se sabe que el coeficiente intelectual de la población adulta española sigue una distribución normal de media $100$ y desviación típica $20$.

a)

¿Qué porcentaje de españoles adultos se espera que tengan un coeficiente intelectual entre $95$ y $105$?

[1 punto]

%

b)

Si se considera que una persona es superdotada cuando su coeficiente intelectual es mayor que $160$, calcular el porcentaje de españoles adultos que son superdotados.

[1 punto]

%

Tabla de la distribución Normal $N(0, 1)$