Examen de Matemáticas II PAU Castilla y León 2026 · Extraordinaria

Sean las matrices $$A = \begin{pmatrix} 2 & 2 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 2 & 0 & 4 \end{pmatrix},\quad B = \begin{pmatrix} -3 & 4 & -6 \\ -2 & 1 & -2 \\ -11 & 3 & -8 \end{pmatrix}\quad \text{e}\quad I = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.$$

a)

Resolver la ecuación matricial $\frac{1}{4}A^2 - AX = B$. (0,5 puntos)

c)

Si $\begin{vmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{vmatrix} = -2$, calcular el valor de $\begin{vmatrix} g - 5a & 2d & a \\ 2h - 10b & 4e & 2b \\ i - 5c & 2f & c \end{vmatrix}$. (0,5 puntos)

Sean las matrices $$A = \begin{pmatrix} 2 & 2 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 2 & 0 & 4 \end{pmatrix},\quad B = \begin{pmatrix} -3 & 4 & -6 \\ -2 & 1 & -2 \\ -11 & 3 & -8 \end{pmatrix}\quad \text{e}\quad I = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.$$

b)

Discutir el sistema de ecuaciones: $(A - \alpha I)\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$, en función del parámetro $\alpha \in \mathbb{R}$. (1,5 puntos)

Sea la función $$f(x) = \begin{cases} \dfrac{4(x+1)}{(4+x^2)^2}, & \text{si } x < 0, \\[2ex] \dfrac{e^x}{(1+e^x)^2} + \dfrac{x}{4}, & \text{si } x \ge 0. \end{cases}$$

a) Estudiar las asíntotas de $f(x)$. [1,5 puntos]

Sea la función $$f(x) = \begin{cases} \dfrac{4(x+1)}{(4+x^2)^2}, & \text{si } x < 0, \\[2ex] \dfrac{e^x}{(1+e^x)^2} + \dfrac{x}{4}, & \text{si } x \ge 0. \end{cases}$$

b) Calcular $\int_{0}^{1} f(x)\,dx$. [1 punto]

(Propuesto en la Comunidad de Cantabria en junio de 2024)

Considere la función $f(x) = x \ln(x)$, con $x > 0$.

a) Calcular la derivada de $f(x)$. [0,75 puntos]

(Propuesto en la Comunidad de Cantabria en junio de 2024)

Considere la función $f(x) = x \ln(x)$, con $x > 0$.

b) Calcular una primitiva de $f(x)$. [0,75 puntos]

(Propuesto en la Comunidad de Cantabria en junio de 2024)

Considere la función $f(x) = x \ln(x)$, con $x > 0$.

c)

Calcular el área del recinto limitado por $f(x)$, el eje $OX$ (abscisas) y las dos rectas $x = 1$ y $x = 2$. [1 punto]

Problema 3A. Dado el plano $\pi \equiv x + y = 0$, el punto $A(1,-1,0)$ y la recta $s \equiv x = y = z$. Hallar la recta $r$, en su forma paramétrica, que pasa por $A$, está contenida en $\pi$, y corta a la recta $s$. [2,5 puntos]

$P($

,

,

$)$

Problema 3B. Los puntos $A(1,1,1)$ y $B(0,2,0)$ son vértices consecutivos del paralelogramo $ABCD$. El centro del paralelogramo es $E(0,0,1)$.

a)

Calcular las coordenadas de los otros vértices. [1 punto]

$C($

,

,

$)$

$D($

,

,

$)$

b)

Hallar la ecuación general del plano que contiene al paralelogramo. [1 punto]

c)

Hallar el volumen del tetraedro formado por los vértices $ABEO$, siendo $O(0,0,0)$ el origen de coordenadas. [0,5 puntos]

APARTADO 4: (elegir UN problema)

Problema 4A. El agua almacenada diariamente en el pantano de Riaño durante el año 2.025 (365 días), sigue una distribución normal con media $337{,}2\text{ hm}^3$ y desviación típica de $40{,}5\text{ hm}^3$.

a)

Elegido al azar un día del año 2.025, calcular la probabilidad de que el agua almacenada haya sido superior a $299{,}94\text{ hm}^3$.

[1 punto]

b)

Calcular el número probable de días que en 2.025 tuvieron almacenada una cantidad de agua comprendida entre $299{,}94\text{ hm}^3$ y $350{,}16\text{ hm}^3$.

[1 punto]

c)

Razonar, utilizando sólo resultados de los apartados anteriores, si, en este contexto, es correcto afirmar que: «el número de días con una cantidad de agua almacenada comprendida entre $310\text{ hm}^3$ y $330\text{ hm}^3$ debería estar entre 170 y 180».

[0,5 puntos]

Sí

No

Tabla de la distribución normal $N(0, 1)$:

Problema 4B. Lucía, Gloria y María se reparten los ejercicios que la profesora de matemáticas asigna a su grupo. Lucía resuelve el $45\%$, Gloria el $30\%$ y María el resto. Además, sabemos que Lucía resuelve correctamente el $90\%$ de los ejercicios que realiza, Gloria el $95\%$ y María el $80\%$.

a)

Describir los sucesos y todas las probabilidades que se mencionan utilizando una notación adecuada. [0,5 puntos]

Si la profesora escoge un ejercicio al azar:

b)

Calcular la probabilidad de que el ejercicio esté resuelto correctamente. [1 punto]

c)

Sabiendo que el ejercicio es incorrecto, calcular la probabilidad de que lo haya resuelto Gloria. [1 punto]