Examen de Matemáticas II PAU Castilla y León 2022 · Extraordinaria

E1.- (Álgebra)

a)

Discuta según los valores del parámetro $m$ el sistema de ecuaciones lineales:$$\begin{cases} x + y + mz = 4 \\ 2x - y + 2z = 3 \\ x - 2y + z = 0 \end{cases}$$

[1,2 puntos]

b)

Resuélvalo para $m = 2$.

[0,8 puntos]

E2.- (Álgebra)

a)

Dadas las matrices $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$, $C = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 2 \end{pmatrix}$, hállese la matriz $X$ tal que $AX + B = C$.

[1,2 puntos]

$X = \left(\vphantom{\begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix}}\right.$

$\left.\vphantom{\begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix}}\right)$

b)

Dadas las matrices $M = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ -1 & 1 & 0 \end{pmatrix}$, $N = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$, $P = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$, explíquese cuáles de los productos $MN$, $MP$, $NP$ pueden calcularse, y calcúlense cuando se pueda.

[0,8 puntos]

$\text{Producto} = \left(\vphantom{\begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix}}\right.$

$\left.\vphantom{\begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix}}\right)$

E3.- (Geometría)

a)

Calcule el plano que pasa por el punto $(1,0,1)$ y es paralelo a los vectores $\vec{u} = (1,1,1)$ y $\vec{v} = (1,2,3)$.

[1,5 puntos]

b)

Calcule el plano paralelo a $3x + 2y + 2z + 1 = 0$ que pasa por el punto $(1,2,3)$.

[0,5 puntos]

E4.- (Geometría)

a)

Encuéntrense las ecuaciones de la recta que está contenida en el plano $\alpha \equiv x - y = 0$, es paralela al plano $\beta \equiv 2x - 3y + z = 4$ y pasa por el punto $P = (1, 1, 3)$.

[1 punto]

b)

Hállese la ecuación del plano que es paralelo a $r \equiv x - 1 = y + 2 = \dfrac{z - 1}{2}$ y pasa por los puntos $A = (0, 3, 1)$ y $B = (-2, 1, -1)$.

[1 punto]

E5.- (Análisis)

Dada la función $f(x) = \dfrac{x^2}{2-x}$, se pide:

a)

Encuentre su dominio y calcule sus asíntotas, si las tiene. [1 punto]

b)

Determine los intervalos de crecimiento y decrecimiento y los máximos y mínimos relativos, si los tiene. [1 punto]

E6.- (Análisis)

E6.- (Análisis)

a)

Calcule $\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x)}{e^x - 1}$. [1 punto]

E6.- (Análisis)

E6.- (Análisis)

b)

Estudiando previamente el signo de la función en el intervalo $[0,3]$, hállese el área limitada por la gráfica de la función $f(x) = x^3 - 9x$ y el eje de abscisas, cuando $x$ varía en el intervalo $[0,3]$. [1 punto]

E7.- (Análisis)

a)

Enuncie el Teorema de Bolzano. [1 punto]

b)

Averigüe si la función $f(x) = x + \operatorname{sen} x - 2$ se anula en algún punto del intervalo $\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$. [1 punto]

¿Se anula en algún punto del intervalo?

Sí

No

E8.- (Análisis)

a)

Estudie el signo de la función $f(x) = x^3 - 4x^2 + 3x$ en el intervalo $[0,2]$. (0,5 puntos)

b)

Calcule el área limitada por la gráfica de la función $f(x) = x^3 - 4x^2 + 3x$ y el eje de abscisas en el intervalo $[0,2]$. (1,5 puntos)

E9.- (Probabilidad y Estadística)

Entre los participantes de un torneo internacional de ajedrez:

El $28\%$ de ellos son rusos, de los cuales las tres cuartas partes son grandes maestros.

El $24\%$ son estadounidenses y entre ellos la mitad son grandes maestros.

El $48\%$ son del resto del mundo, de los cuales un tercio son grandes maestros.

Considerando los sucesos: $R = \text{«ser ruso»}$, $E = \text{«ser estadounidense»}$, $M = \text{«no ser ruso ni estadounidense»}$ y $GM = \text{«ser gran maestro»}$.

a)

Indique cuáles son los valores de $P(GM/R)$, $P(GM/E)$ y $P(GM/M)$. (0,3 puntos)

b)

Calcule la probabilidad de que al elegir al azar a uno de los participantes en el torneo, sea un gran maestro. (0,7 puntos)

c)

Si se elige al azar a uno de los grandes maestros del torneo, ¿cuál es la probabilidad de que sea ruso? (1 punto)

E10.- (Probabilidad y Estadística)

La variable agudeza visual de una población se ajusta a una distribución normal de media $2\text{ cpg}$ (ciclos por segundo) y desviación típica $1\text{ cpg}$. A los individuos con una agudeza visual inferior a $1.1\text{ cpg}$ se les considera con “problemas visuales graves”.

Distribución Normal $N(0, 1)$

$$F(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^x e^{-\frac{t^2}{2}}\,dt$$

a)

¿Qué porcentaje de la población tiene “problemas visuales graves”? [1 punto]

%

b)

¿Qué porcentaje de la población tiene una agudeza visual entre $2$ y $2.9\text{ cpg}$? [1 punto]

%