Examen de Matemáticas II PAU Castilla y León 2024 · Extraordinaria

E1.- (Álgebra)

Dado el sistema de ecuaciones:$$\begin{cases} \lambda x + y - z = 1 \\ -x + y + 2z = 0 \\ 2y + \lambda z = 1 \end{cases}$$

a)

Discutir según los valores del parámetro $\lambda$ el siguiente sistema: [1,2 puntos]

$\lambda_1 =$

$\lambda_2 =$

b)

Resolverlo para $\lambda = 1$. [0,8 puntos]

$x =$

$y =$

$z =$

E2.- (Álgebra)

Dadas las matrices:$$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 1 & 0 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}, \quad C = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \quad \text{y} \quad D = \begin{pmatrix} 0 & 3 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$$hallar la matriz $X$ tal que $AB + CX = D$. [2 puntos]

$X =$

$x_{11} =$

$x_{12} =$

$x_{21} =$

$x_{22} =$

E3.- (Geometría)

Dados la recta $r \equiv x = y = z$, el plano $\pi \equiv x + 2y - 3z = 0$ y el punto $P = (1,1,1)$, se pide:

a)

Determinar la posición relativa de $r$ y $\pi$. [1 punto]

b)

Hallar la recta perpendicular a $r$ y contenida en $\pi$ que pasa por $P$. [1 punto]

$(v_x, v_y, v_z) = ($ $,$ $,$ $)$

$\dfrac{x - 1}{5} = \dfrac{y - 1}{-4} = \dfrac{z - 1}{1}$ (o ecuación equivalente)

E4.- (Geometría)

Determinar el plano que pasa por los puntos $P = (1,1,2)$ y $Q = (3,-1,1)$ y es paralelo a la recta $r \equiv x - 1 = y = z$. [2 puntos]

$\vec{PQ} = ($ $,$ $,$ $)$

$\vec{n}_\pi = ($ $,$ $,$ $)$

$= 0$

E5.- (Análisis)

Dada la función $f(x) = e^x + x^3 - 2$, demostrar que $f(x)$ se anula para algún valor de $x$ y que ese valor es único.

(2 puntos)

a)

b)

E6.- (Análisis)

Dada la función $$f(x) = \begin{cases} \frac{\cos x - a}{b x^2} & \text{si } x \neq 0 \\ 1 & \text{si } x = 0 \end{cases}$$ ¿qué valores tienen que tomar los parámetros $a \in \mathbb{R}$ y $b \in \mathbb{R} - \{0\}$ para que esta función sea continua en todo $\mathbb{R}$?

E7.- (Análisis)

Calcular los valores de $a$, $b$ y $c$ para los cuales la función $f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c$, tiene extremos relativos en $x = 0$ y $x = 2$ y además la gráfica de $f(x)$ corta al eje de abscisas para $x = 1$.

E8.- (Análisis).

a)

Dada la función $f(x) = \frac{\ln x}{x^2 - 3x + 2}$, hallar su dominio de definición y determinar sus asíntotas horizontales y verticales.

E8.- (Análisis).

b)

Calcular $\int \frac{1}{x^2 - 3x + 2} \, dx$.

E9.- (Probabilidad y Estadística)

Entre los automóviles que se fabrican de una cierta marca, un 50% son convencionales (es decir, con motor de gasolina o de gasoil), un 30% híbridos y un 20% eléctricos. De ellos, un 70% de los convencionales, un 80% de los híbridos y un 85% de los eléctricos tienen potencia <140 CV y el resto la tienen ≥ 140 CV. Se pide:

a)

Calcular la probabilidad de que un coche de esa marca elegido al azar sea convencional con potencia ≥ 140 CV. Lo mismo para híbrido o eléctrico con potencia ≥ 140 CV. (1 punto)

b)

Si se sabe que el coche elegido tiene al menos 140 CV, ¿cuál es la probabilidad de que sea de tipo convencional? (1 punto)

E10.- (Probabilidad y Estadística)

Suponiendo que el tiempo que dura una partida de torneo entre maestros de ajedrez sigue aproximadamente una distribución normal de media $160$ minutos y desviación típica $30$ minutos, calcular:

a)

La probabilidad de que una determinada partida de ajedrez jugada en un torneo de maestros acabe en menos de dos horas.

[1 punto]

b)

El porcentaje de partidas de torneo entre maestros de ajedrez que duran más de tres horas y $50$ minutos.

[1 punto]

%