Examen de Matemáticas II PAU Aragón 2021 · Extraordinaria

1) Dada la siguiente función

$$f(x) = \begin{cases} 5 - ax^2 & \text{si } x \le 1 \\ \dfrac{6}{ax} & \text{si } x > 1 \end{cases}, \quad a \in \mathbb{R},\ a \ne 0$$

a)

(1 punto) Calcule los valores de $a \in \mathbb{R}$ para que la función $f(x)$ sea continua.

Menor valor $a_1$:

Mayor valor $a_2$:

b)

(1 punto) Determine justificadamente para qué valor de los anteriores se verifica que el área encerrada por la función $f(x)$, el eje $OX$ y las rectas $x = 0$ y $x = e$ sea $6\text{ u}^2$.

2) Calcule el siguiente límite:

$$\lim_{x \to 1} \left( \operatorname{sen}\left(\frac{\pi}{2} x\right) \right)^{\frac{1}{(1-x)^2}}$$

Límite $=$

3) Se desea construir un depósito con forma de prisma regular de base cuadrada. Además, el depósito es abierto (sin tapa superior). La capacidad total debe ser de $64\text{ m}^3$. El material de construcción de los laterales tiene un precio de $70\text{ euros}$ por $\text{m}^2$, mientras que el de la base, más resistente, es de $140\text{ euros}$ por $\text{m}^2$. Halle las dimensiones del depósito para que tenga el menor coste posible.

Para la siguiente función:

$$f(x) = \frac{e^x}{x^3 - x}$$

a)

(1,25 puntos) Estudie la existencia de asíntotas horizontales, verticales y oblicuas. Calcúlelas cuando existan.

b)

(0,75 puntos) Calcule la recta tangente a la curva en el punto $x = 2$.

5) Dada la siguiente matriz:

$$P = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & -k & -2k \\ 1 & -k & 0 \end{pmatrix}$$

a)

(1 punto) Estudie el rango de la matriz $A = I + P$, donde $I$ es la matriz identidad de orden 3, según los valores de $k \in \mathbb{R}$.

b)

(1 punto) Para $k = 1$, calcule la inversa de la matriz $A$ del apartado anterior.

Dadas las siguientes matrices:

$$B = \begin{pmatrix} 3 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ -1 & 1 & -1 \end{pmatrix}, \quad C_1 = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 3 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \quad C_2 = \begin{pmatrix} -1 & 2 & 0 \\ 3 & 2 & 1 \end{pmatrix}$$

a)

(1 punto) Compruebe que la matriz $B$ tiene inversa y calcúlela.

b)

(1 punto) Calcule la matriz $X$ que verifica la siguiente ecuación matricial: $I + BX = C_1 C_2$, donde $I$ es la matriz identidad de orden 3.

Dado el siguiente sistema:

$$\begin{cases} 3x - y + 2z = 1 \\ x + 4y + z = 3 \\ 2x - 5y + az = -2 \end{cases}$$

a)

(1 punto) Discuta según los valores de $a \in \mathbb{R}$ qué tipo de sistema es atendiendo a sus posibles soluciones.

b)

(1 punto) Resuelva el sistema para $a = 0$.

Calcule la ecuación de la recta que pasa por el punto $(1, -2, 0)$ y es perpendicular al plano determinado por los puntos $(1, 0, 1)$, $(3, 1, 0)$ y $(2, -1, 1)$. Exprésela como intersección de dos planos.

En un departamento de calidad se analiza el funcionamiento del software del motor de vehículos eléctricos e híbridos. Se revisaron 85 coches eléctricos y 145 coches híbridos. En total, 43 coches tenían errores en el software de sus motores. Además, de los motores con software defectuoso, 12 correspondían a coches eléctricos.

a)

(0,8 puntos) Calcule la probabilidad de que un coche revisado seleccionado al azar, sea híbrido y presente el software de su motor correcto.

b)

(1,2 puntos) Calcule la probabilidad de que un coche híbrido seleccionado al azar tenga defectuoso el software del motor.

10) Uno de cada 7 deportistas de la selección española de gimnasia deportiva, será elegido para las próximas olimpiadas. Se escogen aleatoriamente y de modo independiente 9 deportistas de dicha selección española.

a)

(0,8 puntos) ¿Cuál es la probabilidad de que sean elegidos exactamente 2 de estos 9 deportistas para las próximas olimpiadas?

b)

(1,2 puntos) ¿Cuál es la probabilidad de que alguno (al menos 1) de estos 9 deportistas sea elegido para las próximas olimpiadas?