Examen de Matemáticas II PAU Aragón 2022 · Extraordinaria

Dada la siguiente función:$$f(x) = x e^{-ax^2}, \quad a \in \mathbb{R}$$

a)

(1 punto) Determina los valores de $a \in \mathbb{R}$ para que la función $f(x)$ sea continua en $\mathbb{R}$ y tenga la asíntota horizontal $y = 0$.

Dada la siguiente función:$$f(x) = x e^{-ax^2}, \quad a \in \mathbb{R}$$

b)

(1 punto) Calcula, para el valor $a = \frac{1}{2}$, el área que encierra la gráfica de la curva $f(x)$ entre el eje $X$ y las rectas $x = 0$ y $x = 1$.

Para la siguiente función:$$f(x) = \frac{2x^3 + ax^2 + bx + 3}{-x^3 + 4x^2 - 5x + 2}, \quad a, b \in \mathbb{R}$$Calcula los valores de $a, b \in \mathbb{R}$, para que $\lim_{x \to 1} f(x) = L \in \mathbb{R}$, y determina el valor de dicho límite.

(2 puntos) Calcula el área del recinto limitado por las gráficas de las funciones:$$f(x) = 3x + 2x^2,$$$$g(x) = x^2 + 4x + 2.$$

4) Para la siguiente función:

$$f(x) = \frac{x^2 + x}{3 - x^2}$$

a)

(1,25 puntos) Estudia la existencia de asíntotas horizontales, verticales y oblicuas, así como de ramas parabólicas. Determina las asíntotas cuando existan.

b)

(0,75 puntos) Calcula la recta tangente a la función en el punto $x = 1$.

5) Dada la siguiente matriz:

$$A = \begin{pmatrix} 1 & k \\ -1 & k + 1 \end{pmatrix}$$

a)

(1 punto) Determina el valor de $k \in \mathbb{R}$ para que se verifique $A^2 = 3I$, donde $I$ es la matriz identidad de orden 2.

b)

(1 punto) Calcula, para $k = 0$, la matriz $B^n$ con $B = 2A - I$, siendo $I$ la matriz identidad de orden 2, y $n \in \mathbb{N}$.

Dadas las siguientes matrices:

$$A = \begin{pmatrix} 1-m & -1 \\ 2 & 2m \\ m-1 & 1 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \quad C = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$

a)

[1 punto] Estudia, según los valores de $m \in \mathbb{R}$, el rango de la matriz $P = AB^T + C$, donde $B^T$ es la matriz traspuesta de $B$.

b)

[1 punto] Para el valor $m = 1$, calcula la inversa de la matriz $P$ del apartado anterior.

Dado el siguiente sistema:

$$\begin{cases} x + ay + z = 0 \\ x + y + a^2 z = 0 \\ x + y + 2az = 0 \end{cases}$$

a)

[1 punto] Discute según los valores de $a \in \mathbb{R}$ qué tipo de sistema es atendiendo a sus posibles soluciones (compatible determinado o indeterminado, incompatible).

b)

[1 punto] Resuelve el sistema para $a = 0$.

El volumen de un tetraedro es de $10$ unidades cúbicas. Si tres de sus vértices se encuentran en los puntos $A(1,1,1)$, $B(-2,1,0)$ y $C(0,1,3)$, halla las coordenadas del cuarto vértice $D$ sabiendo que se encuentra en el eje $Y$. Escribe todas las soluciones posibles.

$D_1 =$

$D_2 =$

En una academia de artes escénicas se imparten clases de danza y teatro. De danza, hay modalidad de danza clásica y cabaret. En la academia, un $17\%$ de individuos practica danza clásica, un $45\%$ cabaret y un $5\%$ ambas modalidades de danza. Si elegimos un individuo que asiste a dicha academia:

a)

[1 punto] Calcula la probabilidad de que practique algún tipo de danza (o los dos).

b)

[1 punto] Calcula la probabilidad de que practique solamente teatro.

De los huevos que se producen diariamente en una granja, deben desecharse el 20% por no ser aptos para su consumo. Se seleccionan de manera aleatoria e independiente 5 huevos:

a)

Calcula la probabilidad de que tengamos que desechar alguno de los huevos seleccionados (al menos 1).

b)

1.

¿Qué es más probable, que haya exactamente 2 huevos no aptos, o que haya exactamente 3 huevos no aptos? Obtén estas probabilidades.

2.

¿Cómo razonarías la respuesta a la pregunta anterior sin hacer uso de la calculadora?