Examen de Matemáticas II PAU Aragón 2021 · Ordinaria

Dada la siguiente función:

$$f(x) = \begin{cases} x^3 + bx + 2 & x \le 0 \\ \dfrac{\ln(x+1)}{ax} & x > 0 \end{cases}, \quad a, b \in \mathbb{R},\; a, b \neq 0$$

a) (1 punto) Determine los valores de $a, b \in \mathbb{R}$ para que la función $f(x)$ sea continua en $\mathbb{R}$.

Dada la siguiente función:

$$f(x) = \begin{cases} x^3 + bx + 2 & x \le 0 \\ \dfrac{\ln(x+1)}{ax} & x > 0 \end{cases}, \quad a, b \in \mathbb{R},\; a, b \neq 0$$

b) (1 punto) Calcule aquellos valores que además hacen que la función $f(x)$ tenga un extremo relativo en el punto $x = -1$, y determine el tipo de extremo que es.

2) (2 puntos) Calcule el valor de $a \in \mathbb{R}$ ($a \neq 0$) para que se verifique el siguiente límite:

$$\lim_{x \to 0} (1 - \operatorname{sen}^2(x))^{\frac{a}{x^2}} = 2$$

3) (2 puntos) Calcule:

$$\int \frac{x^2 - 1}{x^3 - 3x + 2}\,dx$$

Para la siguiente función$$f(x) = \frac{2x^3 - x^2}{x^2 - x - 2}$$

a)

[1,2 puntos] Estudie el dominio de definición y calcule las asíntotas horizontales, verticales y oblicuas caso de existir.

b)

[0,8 puntos] Calcule la recta tangente a la curva en el punto $x = 1$.

Dada la siguiente matriz:$$A = \begin{pmatrix} 0 & 0 & -2 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 3 \end{pmatrix}$$

a)

[1,25 puntos] Estudie el rango de la matriz $A - kI$ según los valores de $k \in \mathbb{R}$, donde $I$ es la matriz identidad de orden 3.

b)

[0,75 puntos] Calcule la inversa de $A - kI$ para $k = 0$ (es decir, $A^{-1}$).

a)

[1 punto] Sabiendo que $$\begin{vmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{vmatrix} = 5$$ calcule justificadamente$$\begin{vmatrix} 2d & 2e + 2f & 2f \\ -g & -h - i & -i \\ a & b + c & c \end{vmatrix}$$

b)

[1 punto] Dada la matriz $$A = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 2 & 2 & 2 \\ 2 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$ resuelva el sistema $$\left(A - \frac{1}{2}A^T\right) \cdot X = \begin{pmatrix} 0 \\ 9 \\ 5 \end{pmatrix}$$ donde $A^T$ es la matriz traspuesta de $A$.

a)

Resuelva el siguiente sistema matricial:

$$\begin{cases} 2X + 3Y = \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 3 & 7 \end{pmatrix} \\[6pt] 3X - 2Y = \begin{pmatrix} 5 & 3 \\ -2 & 4 \end{pmatrix} \end{cases}$$

$\begin{pmatrix} \end{pmatrix}$ $\\$ $)$

$\begin{pmatrix} \end{pmatrix}$ $\\$ $)$

b)

Calcule $\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}^n$, $n \in \mathbb{N}$.

Calcule la ecuación implícita de la recta (como intersección de dos planos) que pasa por el punto $A = (0,1,1)$ y es paralela a los planos: $\pi_1$ que contiene los puntos $B_1, B_2, B_3$, y $\pi_2 \equiv x + 2z = 1$, siendo:

$$B_1 = (-1,0,2), \quad B_2 = (1,3,1), \quad B_3 = (2,-1,0)$$

Sean los siguientes vectores:

$$\vec{u_1} = (-1,1,1), \quad \vec{u_2} = (0,3,1), \quad \vec{u_3} = (1,-2,0), \quad \vec{u_4} = (-2,0,1)$$

a)

Compruebe si los vectores $\{\vec{v_1}, \vec{v_2}, \vec{v_3}\}$ son linealmente dependientes o independientes, siendo:

$$\vec{v_1} = 2\vec{u_1} - \vec{u_2}, \quad \vec{v_2} = \vec{u_1} + \vec{u_3}, \quad \vec{v_3} = \vec{u_4}$$

b)

Calcule las siguientes expresiones:

$$(2\vec{u_1} - \vec{u_2}) \cdot (2\vec{u_1} - \vec{u_2}), \qquad (\vec{u_4} - \vec{u_1}) \times (\vec{u_4} - \vec{u_1})$$

siendo $\cdot$ y $\times$ los productos escalar y vectorial de dos vectores respectivamente.

(,,)

La cantidad de hierro en suero de una mujer adulta sigue una distribución normal de media $120\ \mu\text{g/dl}$ y desviación típica $30\ \mu\text{g/dl}$. Se considera que una mujer tiene un tipo de anemia por falta de hierro si su cantidad de hierro no llega a $75\ \mu\text{g/dl}$.

a)

¿Cuál es la probabilidad de que una mujer adulta tenga anemia por falta de hierro?

b)

El $45\%$ de mujeres adultas tienen una cantidad de hierro en suero superior a $k$. Averigüe el valor de $k$.