Examen de Matemáticas II PAU Aragón 2023 · Extraordinaria

Dada la siguiente función:$$f(x) = (e^{ax} + b)x - e, ag*{} \text{con } a, b \ne \text{ e } a, b \notin \text{...} \rightarrow a, b \text{ en } \text{R, con } a \neq 0$$

a) (1 punto) Calcula los valores de $a$ y $b$, sabiendo que dicha función tiene un extremo relativo en $x = 0$ y un punto de inflexión en $x = 2$.

Dada la siguiente función:$$f(x) = (e^{ax} + b)x - e, ag*{} \text{con } a, b \ne \text{ e } a, b \notin \text{...} \rightarrow a, b \text{ en } \text{R, con } a \neq 0$$

b) (1 punto) Para los valores $a = 1$ y $b = 2$, calcula $\int x f(x) dx$.

2) (2 puntos) Calcula el valor del parámetro $a \in \mathbb{R}$, para que el siguiente límite sea finito y calcula el valor de dicho límite

$$L = \lim_{x \to 0} \frac{\ln(x + 1) - a\operatorname{sen}(x) + 3x\cos(2x)}{x^2}.$$

3) (2 puntos) Descompón el número $\sqrt{3}$ en dos sumandos positivos, de forma que la suma de sus respectivos logaritmos en base 3 sea máxima y calcula esta suma de forma exacta.

Para la siguiente función

$$f(x) = \frac{x^2}{x^2 - 2x + 1}$$

a)

Indica el dominio de definición y estudia su monotonía.

b)

Estudia la curvatura de la función (concavidad = $\cap$ y convexidad = $\cup$) y la existencia de puntos de inflexión, y calcúlalos si existen.

Dada la siguiente matriz:

$$A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & m \\ 2 & m & m + 2 \\ m - 1 & 2 & 1 \end{pmatrix}$$

a)

[1 punto] Discute el rango de la matriz $A$ según los valores de $m \in \mathbb{R}$.

$m_1 =$

y $m_2 =$

b)

[1 punto] Calcula la inversa de la matriz $A$ para el valor $m = 1$.

Sabiendo que $\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 0 & 5 \\ a & b & c \end{vmatrix} = \frac{1}{2}$, calcula razonadamente el determinante de la matriz

$$A = \begin{pmatrix} 4a + 2 & 4b + 4 & 4c + 6 \\ 3a & 3b & 3c \\ a + 4 & b & c + 5 \end{pmatrix}^2.$$

Una ONG aragonesa de reciente creación tiene tres sedes, una en Huesca, otra en Zaragoza y otra en Teruel. El número total de voluntarios es de 31. Para que Huesca y Zaragoza tuvieran el mismo número de voluntarios tendrían que trasladarse 3 de Huesca a Zaragoza. Además, el número de los voluntarios de la sede de Huesca excede en 1 a la suma de los voluntarios de las otras dos sedes. ¿Cuántos voluntarios hay en cada una de las tres sedes?

Si los vectores {$\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}$} son linealmente independientes,

a)

[1,2 puntos] Comprueba si los vectores {$\vec{r}, \vec{s}, \vec{t}$} son linealmente dependientes o independientes, siendo$$\vec{r} = \vec{u} - \vec{v} - 2\vec{w}, \quad \vec{s} = \vec{u} + 3\vec{w}, \quad \vec{t} = 2\vec{u} - \vec{v} + \vec{w}.$$

b)

[0,8 puntos] Calcula razonadamente $3\vec{s} \times (\vec{t} - \vec{r})$ donde $\times$ representa el producto vectorial de dos vectores.

9) De los turistas que llegaron a España el mes pasado, el 35% visitaron Aragón. Si seleccionamos al azar y de manera independiente 7 turistas que llegaron a España el mes pasado.

a)

(1 punto) Razona, sin hacer uso de la calculadora: ¿Qué es más probable, que 2 de estos turistas visitaran Aragón, o que sean 5 los que visitaron nuestra Comunidad Autónoma?

b)

(1 punto) Calcula la probabilidad de que alguno de los 7 turistas haya visitado Aragón.

En el club deportivo Ares, se juegan tres modalidades de raqueta: pádel, tenis y frontón-tenis. Cada socio del club sólo puede apuntarse a una única modalidad. El $60\%$ se apuntó a pádel, el $25\%$ a tenis y el $15\%$ a frontón-tenis. En los campeonatos anuales entre clubes deportivos, participaron todos los socios del club Ares, de los cuales han conseguido medalla el $21\%$ de los jugadores de pádel, el $30\%$ de los jugadores de tenis y el $12\%$ de los jugadores de frontón-tenis.

a)

[1 punto] Calcula la probabilidad de que un jugador de raqueta del club, seleccionado al azar, haya obtenido una medalla.

b)

[1 punto] Calcula la probabilidad de que un jugador con medalla, seleccionado al azar, sea jugador de la modalidad tenis.