Examen de Matemáticas II PAU Aragón 2024 · Extraordinaria

Dada la siguiente función: $$f(x) = \begin{cases} a - \cos(x) & x \le 0 \\ x^2 - b\operatorname{sen}\left(x + \frac{\pi}{2}\right) & x > 0 \end{cases}, \quad a, b \in \mathbb{R}.$$

(a)

(1 punto) Estudia su continuidad en $\mathbb{R}$ según los valores de $a$ y $b$.

Dada la siguiente función: $$f(x) = \begin{cases} a - \cos(x) & x \le 0 \\ x^2 - b\operatorname{sen}\left(x + \frac{\pi}{2}\right) & x > 0 \end{cases}, \quad a, b \in \mathbb{R}.$$

(b)

(1 punto) Para $a = 1$, calcula el valor de $b$ para que, en el punto con $x = \dfrac{\pi}{2}$, la función tenga la recta tangente $y = \dfrac{\pi}{2}x$.

2. Estudia la existencia del siguiente límite y calcúlalo en caso de existir:

$$\lim_{x \to 2} \frac{(x - 2) \cdot (3x^5 + 5x^4 - 7x^3 + 2x^2 - x + 3) + 2}{3 - (x^2 - 4) \cdot \sqrt{\operatorname{sen}(2x^2) + (\cos(x))^2 + \log(x + 5)}}$$

3. Calcula el área encerrada por las gráficas de las funciones $f(x) = x + 6$ y $g(x) = \begin{cases} -2x & \text{si } x < 0 \\ x^2 & \text{si } x \ge 0 \end{cases}$.

4. En una cristalería, a un cristal rectangular de 120 centímetros de alto y 70 centímetros de ancho se le ha cortado por error la esquina superior derecha como se ve en el dibujo. Quieren recortar dicho cristal nuevamente de forma rectangular, de modo que la superficie sea la máxima posible haciendo como máximo dos cortes. ¿Cuáles serán las dimensiones del nuevo cristal rectangular recortado?

De una matriz $B$ sabemos que cumple$$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ -7 & -8 & -9 \end{pmatrix} \cdot B = I_3 - \begin{pmatrix} 10 & 11 & 12 \\ 7 & 9 & 9 \\ -4 & -5 & -7 \end{pmatrix} \cdot B,$$donde $I_3$ es la matriz identidad de orden 3. Estudia si la matriz $B$ tiene inversa. En caso afirmativo, calcula la inversa de $B$.

a)

b)

Dadas las siguientes matrices$$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & m & m \\ 4 & 4 & 2m \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 3 \\ 5 \\ 12 \end{pmatrix}, \quad m \in \mathbb{R}.$$

a)

[1,2 puntos] Analiza el rango de la matriz $A$ según los valores de $m \in \mathbb{R}$. Escribe los valores críticos de $m$ que anulan el determinante:

b)

[0,8 puntos] Resuelve el sistema $A \cdot X = B$ para el valor $m = 2$. Expresa la solución en función del parámetro libre $z = \lambda$:

En un laboratorio de una empresa farmacéutica se fabrican tres tipos de medicamentos, $M_1$, $M_2$ y $M_3$, a partir de tres principios activos, $A_1$, $A_2$ y $A_3$, distintos. En la siguiente tabla se reflejan los miligramos de principio activo necesarios para fabricar un gramo de cada medicamento:

· mg de $A_1$ · mg de $A_2$ · mg de $A_3$

para 1g de $M_1$ · 10 · 10 · 20

para 1g de $M_2$ · 10 · 20 · 30

para 1g de $M_3$ · 20 · 30 · 50

En dicho laboratorio se dispone actualmente de 70 gramos del activo $A_1$, 90 gramos del activo $A_2$ y 160 gramos del activo $A_3$. Se va a cerrar por vacaciones y la empresa quiere no dejar principios activos en el laboratorio. ¿Es posible utilizar la cantidad total exacta disponible de principios activos del laboratorio fabricando los medicamentos $M_1$, $M_2$ y $M_3$? En caso afirmativo, ¿qué cantidades de cada medicamento podrá fabricar el laboratorio con dichos principios activos?

a)

b)

Cantidades de cada medicamento en gramos (en función de un parámetro libre $\lambda$ representando los gramos de $M_3$, donde $\lambda \in [0, 2000]$):

Halla la ecuación de un plano que es perpendicular a la recta dada por los planos$$\begin{cases} 2x + y - z = 0 \\ x - y + z = -3 \end{cases}$$y además pasa por el punto $(3, 2, 1)$.

9. Sean $A(1, 2, 3)$, $B(1, 0, -1)$ y $C(2, 2, 2)$ tres puntos en el espacio y $\vec{v}_1$ el vector que va de $A$ a $B$; $\vec{v}_2$ el vector que va de $B$ a $C$ y $\vec{v}_3$ el vector que va de $C$ a $A$.

(a)

(1 punto) Estudia si los vectores $\vec{v}_1$, $\vec{v}_2$ y $\vec{v}_3$ son linealmente independientes.

(b)

(1 punto) Calcula el área del triángulo cuyos vértices son $A, B, C$.

El 84 % de los exámenes de Matemáticas II de la fase genérica en la convocatoria ordinaria de la EvAU en 2022 en Aragón obtuvieron una nota mayor o igual a 5.

(a)

(0,8 puntos) Si seleccionamos aleatoriamente 15 de aquellos exámenes, ¿cuál es la probabilidad de que exactamente 2 tengan una nota inferior a 5?

(b)

(1,2 puntos) Con los 15 exámenes anteriores, ¿es más probable que menos de 2 exámenes tengan nota inferior a 5 o que más de 2 exámenes tengan nota inferior a 5?