Examen de Matemáticas II PAU Aragón 2026 · Extraordinaria

1. (2 puntos) Hemos estado reparando una silla de estructura metálica porque cojeaba ya que los extremos inferiores de sus cuatro patas no apoyaban simultáneamente en un suelo plano. Por ello, tenemos la silla tumbada sobre una mesa de trabajo de 120 centímetros de altura. La silla tiene cuatro patas de 45 centímetros de longitud cada una. Tras el trabajo de reparación, los extremos inferiores de las patas se encuentran situados en los puntos $A(-2, 3, 120)$, $B(20, 42, 120)$, $C(-1, 4, 165)$ y $D(20, 43, 165)$.

Cuando bajemos la silla de la mesa de trabajo y la dejemos en el suelo, ¿cojeará o apoyará sus cuatro patas sobre el suelo plano del taller?

2. Existen funciones que aunque tienen primitivas, estas no pueden expresarse en términos de funciones elementales y no podemos calcularlas. Un ejemplo es $f(x) = \operatorname{sen}(x^2)$. Aunque no la podemos calcular, vamos a llamar $F(x)$ a la primitiva de $f(x)$ que cumple $F(0) = 0$.

a)

(0,8 puntos) ¿Cuál es la derivada de $F(x)$?

$F'(x) =$

b)

(1,2 puntos) Utiliza la regla de L'Hôpital para calcular $$\lim_{x \to 0} \frac{F(x)}{x^3}$$

Límite $=$

3. Sean $A$, $M$ y $N$ tres matrices cuadradas de tamaño $4 \times 4$ que satisfacen la condición $$M \cdot A = I + N \cdot A,$$ donde $I$ es la matriz identidad de orden 4.

a)

(1 punto) Justifica que $A$ es regular.

b)

(1 punto) Si $$M = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1/2 & 1/2 & \sqrt{3} & 0 \\ 1/3 & 5 & 0 & -1 \\ \pi & 0 & 2 & 2 \end{pmatrix} \quad \text{y} \quad N = \begin{pmatrix} 0 & 3 & 4 & 2 \\ 1/2 & -1/2 & \sqrt{3} & 1 \\ 1/3 & 5 & -1 & 0 \\ \pi & 0 & 2 & 1 \end{pmatrix},$$ calcula $A^{-1}$.

Dada la función $f(x) = \dfrac{x^2}{x-2}$:

a)

[0,8 puntos] Calcula sus asíntotas.

b)

[1,2 puntos] Estudia su monotonía. Justifica que $f(x) \ge 8$ si $x \in [3, 5]$.

[2 puntos] Sea $f(x) = -x^3 + 4x^2 + x - 4$. Calcula el área de la región delimitada por $f(x)$ y la recta tangente a $f(x)$ en $x = 2$.

5.1 Tenemos dos urnas, $A$ y $B$, con bolas rojas y azules. En la urna $A$ hay dos bolas rojas y tres bolas azules. En la urna $B$ hay dos bolas azules y tres bolas rojas.

a)

[1 punto] Si sacamos al azar una bola de cada urna, ¿qué es más probable, que salgan dos bolas del mismo color o de color diferente?

b)

[1 punto] Las bolas extraídas en a) las introducimos en la urna contraria, es decir, la sacada de la urna $A$ la metemos en la urna $B$ y viceversa. Si sacamos ahora una bola al azar de la urna $B$, ¿cuál es la probabilidad de que sea azul?

5.2 (2 puntos) El gobierno de una comunidad autónoma quiere incentivar el ahorro de agua en los hogares de dicha comunidad. Para ello, piensa subir las tasas de consumo de agua a aquellos hogares que más consumen por persona y bajar las tasas a los que menos consumen por persona. En concreto, planifica subir las tasas al $20\,\%$ de los hogares de la comunidad y bajarlas a otro $20\,\%$.

El Departamento correspondiente ha comprobado que el consumo diario de agua por persona en los hogares de la comunidad se aproxima bien por una normal de media $135$ litros. Además, los hogares a los que van a subir las tasas (correspondientes al $20\,\%$ de mayor consumo) tienen un consumo superior a los $148{,}44$ litros por persona y día.

¿Cómo será el consumo de agua de los hogares a los que van a bajar las tasas?

Tabla de la distribución normal estándar $N(0, 1)$

litros