Examen de Matemáticas II PAU Andalucía 2023 · Extraordinaria Reserva

EJERCICIO 1. (2,5 puntos)

Halla dos números mayores o iguales que 0, cuya suma sea 1, y el producto de uno de ellos por la raíz cuadrada del otro sea máximo.

Considera la función $f(x) = \frac{x^2 + a}{x - b}$, para $x \neq b$.

a)

[1,5 puntos] Calcula $a$ y $b$ para que la gráfica de $f$ pase por el punto $(1, -2)$ y tenga a la recta $y = x + 4$ como asíntota oblicua.

Considera la función $f(x) = \frac{x^2 + a}{x - b}$, para $x \neq b$.

b)

[1 punto] En el caso $a = 5$ y $b = -4$, calcula la ecuación de la recta normal a la gráfica de $f$ que pasa por el punto de abscisa $x = 0$.

EJERCICIO 3. (2,5 puntos)

Sabiendo que $F: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ definida por $F(x) = e^{x^2}$ es una primitiva de $f$.

a)

[1,25 puntos] Comprueba que $f$ es creciente.

b)

[1,25 puntos] Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de la función $f$, el eje de abscisas y la recta $x = 1$.

EJERCICIO 4. (2,5 puntos)

Considera la función $f: [0, +\infty) \to \mathbb{R}$ definida por $f(x) = \cos(\sqrt{x})$. Calcula, si es posible, una primitiva de $f$ cuya gráfica pase por el punto $(0, 5)$. Sugerencia: haz el cambio $t = \sqrt{x}$.

$F(x) =$

EJERCICIO 5. (2,5 puntos)

Considera la matriz $$A = \begin{pmatrix} 0 & a & -b \\ 0 & 0 & b \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$

a)

[0,75 puntos] Calcula $A^{10}$.

b)

[1,75 puntos] Calcula, si es posible, la matriz inversa de $I + A + A^2$, donde $I$ denota la matriz identidad de orden 3.

Dadas las matrices $$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}$$ y $$B = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$, se define la matriz $M = A + (\lambda - 1)B$.

a)

Halla los valores de $\lambda$ para los que la matriz $M$ tiene rango menor que 3.

b)

Para $\lambda = -1$, resuelve el sistema lineal homogéneo cuya matriz de coeficientes es $M$.

EJERCICIO 7. (2,5 puntos)

Considera el plano $\pi$, determinado por los puntos $A(-1, 0, 0)$, $B(0, 1, 1)$ y $C(2, 1, 0)$, y la recta

$$r \equiv \begin{cases} x - 2z - 3 = 0 \\ y - z - 2 = 0 \end{cases}$$

Halla los puntos de $r$ cuya distancia a $\pi$ es $\sqrt{14}$ unidades.

Primer punto:

$(\,$,

,

$\,)$

Segundo punto:

$(\,$,

,

$\,)$

EJERCICIO 8. [2,5 puntos]

Considera el paralelogramo cuyos vértices consecutivos son los puntos $P(-1, 2, 3)$, $Q(-2, 1, 0)$, $R(0, 5, 1)$ y $S$.

a)

[1 punto] Halla las coordenadas del punto $S$.

b)

[1,5 puntos] Calcula la ecuación de la recta que pasa por el origen de coordenadas y es perpendicular al plano que contiene a los puntos $P$, $Q$ y $R$.