Examen de Matemáticas II PAU Andalucía 2021 · Extraordinaria Reserva

EJERCICIO 1

Calcula $a$, $b$, $c$ y $d$ sabiendo que la gráfica de la función $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ definida por $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ tiene un punto de inflexión en $(0, 4)$ y su recta normal en el punto $(1, 8)$ es paralela al eje de ordenadas.

EJERCICIO 2

Considera la función $f$ definida por $f(x) = \dfrac{x^2 - 10}{x^2 + 2x - 3}$ (para $x \neq -3$, $x \neq 1$).

a)

Estudia y halla las asíntotas de la gráfica de $f$. [1,25 puntos]

b)

Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de $f$. [1,25 puntos]

EJERCICIO 3 (2.5 puntos)

Considera la función $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ definida por $f(x) = e^x$.

a)

Calcula $a$ para que la recta tangente a la gráfica de $f$ en el punto $(a, f(a))$ pase por el origen de coordenadas. (1.25 puntos)

b)

Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de $f$, la recta tangente a la misma en el punto $(1, f(1))$ y el eje de ordenadas. (1.25 puntos)

EJERCICIO 4

Calcula $\displaystyle\int_1^3 |x^2 - 3x + 2|\,dx$.

Considera la matriz $A = \begin{pmatrix} a & 2 & 1 \\ b & -1 & 1 \\ c & 1 & 1 \end{pmatrix}$, con determinante igual a $5$.

a)

Calcula razonadamente el determinante de $2A^3$. (0.5 puntos)

b)

Calcula razonadamente los determinantes (2 puntos)

$$\begin{vmatrix} 2a & -1 & 3 \\ 2b & 1/2 & 3 \\ 2c & -1/2 & 3 \end{vmatrix} \quad \text{y} \quad \begin{vmatrix} a & b & c \\ a+4 & b-2 & c+2 \\ a+1 & b+1 & c+1 \end{vmatrix}.$$

EJERCICIO 6 (2.5 puntos)

Considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales

$$\left\{\begin{array}{rcrcrcl} x & + & my & + & mz & = & 1 \\ x & + & 2my & + & (m+1)z & = & 1 \\ 2x & + & my & + & mz & = & 2 \end{array}\right.$$

a)

Discute el sistema según los valores de $m$. [1.75 puntos]

b)

Resuelve el sistema, si es posible, para $m = 1$. [0.75 puntos]

Considera el punto $P(1, 2, 6)$ y el plano $\pi \equiv 2x - y + z = 0$.

a)

Halla las ecuaciones de los planos paralelos a $\pi$ cuya distancia a éste sea $\sqrt{6}$ unidades. (1.25 puntos)

b)

Halla el simétrico del punto $P$ respecto al plano $\pi$. (1.25 puntos)

Considera los puntos $B(-1, 0, -1)$, $C(0, 1, -3)$ y la recta

$$r \equiv \begin{cases} x = -\lambda \\ y = 1 + 2\lambda \\ z = -1 + \lambda \end{cases}$$

a)

Calcula un punto que esté en $r$ y equidiste de $B$ y $C$. (1.25 puntos)

b)

Siendo $D(1, -1, -2)$, calcula el área del triángulo con vértices en los puntos $B$, $C$ y $D$. (1.25 puntos)