Examen de Matemáticas II PAU Andalucía 2021 · Ordinaria Suplente

Sea la función continua $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ definida por

$

f(x) = \begin{cases}

\dfrac{\ln(e^x + x^3)}{x} & \text{si } x < 0 \\[2ex]

4x^2 + a & \text{si } 0 \le x < 1 \\[2ex]

b + \operatorname{sen}(\pi x) & \text{si } 1 \le x

\end{cases}

$$($\ln$denota la función logaritmo neperiano). Determina$a$y$b$.

Sea $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ la función definida por $f(x) = \dfrac{e^{2x} - 1}{e^{2x} + 1}$.

a)

Estudia y halla las asíntotas de la gráfica de $f$.

b)

Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de $f$.

Calcula $\displaystyle \int_0^{\pi/2} (2\operatorname{sen}^2(x) - \cos^2(x))\,dx$.

Considera las funciones $f, g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ definidas por $f(x) = |x| - 2$ y por $g(x) = 4 - x^2$.

a)

Halla los puntos de corte de las gráficas de ambas funciones y esboza el recinto que delimitan.

b)

Determina el área del recinto anterior.

EJERCICIO 5 (2.5 puntos)

Considera la matriz $$A = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 2 \\ -1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 4 \end{pmatrix}$$.

a)

Estudia, según los valores de $\lambda$, el rango de la matriz $A - \lambda I$, siendo $I$ la matriz identidad de orden tres. (1.75 puntos)

$\lambda_1 =$

$\lambda_2 =$

Si $\lambda \neq 1$ y $\lambda \neq 5$: $\mathrm{rg}(A - \lambda I) = 3$.

Si $\lambda = 1$: $\mathrm{rg}(A - I) =$

Si $\lambda = 5$: $\mathrm{rg}(A - 5I) =$

b)

Resuelve el sistema $(A - I) \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$ y halla, si existe, una solución en la que $x = 2$. (0.75 puntos)

$x(t) =$

$y(t) =$

$z(t) =$

$x = 2$, $y =$

, $z =$

Considera las matrices $A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 1 & m & 1 \end{pmatrix}$ y $B = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 2 \\ m & -1 \end{pmatrix}$.

a)

Calcula $m$ para que $AB$ no tenga inversa. [1 punto]

$m =$

b)

Estudia el rango de la matriz $BA$ según los valores de $m$. [1.5 puntos]

$\operatorname{rg}(BA) =$

Considera las rectas$$r \equiv \begin{cases} x = 2 + 3\lambda \\ y = -1 + 2\lambda \\ z = 3 + \lambda \end{cases} \qquad \text{y} \qquad s \equiv \begin{cases} 2x - y - 2 = 0 \\ y + 2z - 4 = 0 \end{cases}$$

a)

Halla el plano que contiene a $r$ y es paralelo a $s$. [1.5 puntos]

b)

Deduce razonadamente que ningún plano perpendicular a $s$ contiene a $r$. [1 punto]

$\vec{u}_r \cdot \vec{u}_s =$

Considera los puntos $A(1, 2, 3)$, $B(-2, 4, -3)$ y $C(-10, 1, 0)$.

a)

Halla el área del triángulo de vértices $A$, $B$ y $C$. [1.25 puntos]

$\text{Área} =$ $\text{u}^2$

b)

Halla el plano que equidista de $A$ y $B$. [1.25 puntos]