Examen de Matemáticas II PAU Andalucía 2021 · Ordinaria Titular

Se sabe que la gráfica de la función $f$ definida por $f(x) = \dfrac{ax^2 + bx + 2}{x - 1}$ (para $x \neq 1$) tiene una asíntota oblicua que pasa por el punto $(1, 1)$ y tiene pendiente $2$. Calcula $a$ y $b$.

Considera la función continua $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ definida por

$$f(x) = \begin{cases} (3x - 6)e^x & \text{si } x \le 0 \\[2ex] \dfrac{36(\operatorname{sen}(x) - ax)}{x^3} & \text{si } x > 0 \end{cases}$$

a)

Calcula $a$.

b)

Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de $f$ en el punto de abscisa $x = -1$.

Considera la función $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ definida por $f(x) = 4x^3 - x^4$.

a)

Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de $f$.

b)

Esboza la gráfica de $f$ y calcula el área del recinto limitado por dicha gráfica y el eje de abscisas.

Considera la función $F: [0, +\infty) \to \mathbb{R}$ definida por

$$F(x) = \int_0^x (2t + \sqrt{t})\,dt.$$

Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de $F$ en el punto de abscisa $x = 1$.

EJERCICIO 5 (2.5 puntos)

Considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales:

$$\begin{cases} mx + 2y - z = 1 \\ 5x - 4y + 2z = 0 \\ x + 3my = m + \frac{2}{3} \end{cases}$$

a)

Discute el sistema según los valores de $m$. [1,5 puntos]

$m_1 =$

y $m_2 =$

b)

Resuelve el sistema para $m = 0$. ¿Hay alguna solución en la que $x = 0$? En caso afirmativo, calcúlala. En caso negativo, justifica la respuesta. [1 punto]

En una empresa se fabrican tres tipos de productos plásticos: botellas, garrafas y bidones. Se utiliza como materia prima $10\text{ kg}$ de polietileno cada hora. Se sabe que para fabricar cada botella se necesitan $50\text{ gramos}$, para cada garrafa $100\text{ gramos}$ y $1\text{ kg}$ para cada bidón.

El gerente también nos dice que se debe producir el doble de botellas que de garrafas. Por último, se sabe que por motivos de capacidad de trabajo, en las máquinas se producen en total $52\text{ productos}$ cada hora.

¿Cuántas botellas, garrafas y bidones se producen cada hora? [2,5 puntos]

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Considera las rectas$$r \equiv \begin{cases} 2x - 3y + z - 2 = 0 \\ -3x + 2y + 2z + 1 = 0 \end{cases} \qquad \text{y} \qquad s \equiv \begin{cases} x = 3 - 2\lambda \\ y = -1 + \lambda \\ z = -2 + 2\lambda \end{cases}$$

a)

Calcula el plano perpendicular a la recta $s$ que pasa por el punto $P(1, 0, -5)$. [1,5 puntos]

b)

Calcula el seno del ángulo que forma la recta $r$ con el plano $\pi \equiv -2x + y + 2z = 0$. [1 punto]

EJERCICIO 8 (2.5 puntos)

La recta $r \equiv \dfrac{x+3}{2} = \dfrac{y+4}{2} = \dfrac{z-3}{3}$ y la recta $s$, que pasa por los puntos $P(1, 0, 2)$ y $Q(a, 1, 0)$, se cortan en un punto. Calcula el valor de $a$ y el punto de corte.

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