Examen de Matemáticas II PAU Andalucía 2022 · Ordinaria Suplente

EJERCICIO 1. (2,5 puntos)

Sea $f$ la función continua definida por

$$f(x) = \begin{cases} x^2 + 2 & \text{si } x \le 0 \\ \sqrt{ax + b} & \text{si } 0 < x \le 2 \\ \dfrac{-x}{2\sqrt{2}} + \dfrac{3}{\sqrt{2}} & \text{si } 2 < x \end{cases}$$

a)

Calcula $a$ y $b$. [1,25 puntos]

b)

Para $a = -1$ y $b = 4$, estudia si existe la derivada de $f$ en $x = 2$. En caso afirmativo, calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica de $f$ en dicho punto. [1,25 puntos]

EJERCICIO 2. (2,5 puntos)

Considera la función $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ definida por $f(x) = \ln(x^2 + 1)$ (donde $\ln$ denota la función logaritmo neperiano).

a)

Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de $f$. [1 punto]

b)

Determina los intervalos de convexidad y de concavidad de $f$ y los puntos de inflexión de su gráfica. [1,5 puntos]

EJERCICIO 3. (2,5 puntos)

Considera la función $F: [0, 2\pi] \to \mathbb{R}$ definida por

$$F(x) = \int_{0}^{x} 2t\cos(t)\,dt$$

a)

Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de $F$. [1 punto]

b)

Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de $F$ en el punto de abscisa $x = \pi$. [1,5 puntos]

EJERCICIO 4. (2,5 puntos)

Calcula $\displaystyle \int_{0}^{1} x \operatorname{arctg}(x)\,dx$ (donde $\operatorname{arctg}$ denota la función arcotangente).

EJERCICIO 5. (2,5 puntos)

Considera el sistema:

$$\begin{cases} 2x + 3y + mz = 3 \\ x + my - z = -1 \\ 3x + y - 3z = -m \end{cases}$$

a)

Discute el sistema según los valores de $m$. (1,75 puntos)

b)

Para $m = -2$ encuentra, si es posible, $y_0$ para que la solución del sistema sea $x = \lambda,\ y = y_0,\ z = \lambda - \frac{3}{7}$. (0,75 puntos)

EJERCICIO 6. (2,5 puntos)

Dado $a \neq 0$, considera las matrices $A = \begin{pmatrix} -a & 3 \\ a & 1 \end{pmatrix}$ y $B = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 3 & 4 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$.

a)

Determina para qué valores de $a$ se cumple que $A^{-1} = \frac{1}{4} A$. (1,25 puntos)

b)

Para $a = 1$ calcula, si es posible, la matriz $X$ tal que $A X = B^t$, donde $B^t$ denota la matriz traspuesta de $B$. (1,25 puntos)

EJERCICIO 7. (2,5 puntos)

Considera el plano $\pi \equiv x + y + z = 0$ y la recta $r \equiv \begin{cases} x = \lambda \\ y = 1 - \lambda \\ z = 0 \end{cases}$

a)

Determina la ecuación del plano perpendicular a $\pi$ que contiene a $r$. (1,25 puntos)

b)

Calcula la distancia entre $r$ y $\pi$. (1,25 puntos)

EJERCICIO 8. (2,5 puntos)

Sean los planos $\pi_1 \equiv 2x + y + z - 3 = 0$, $\pi_2 \equiv x + 2y - z + 5 = 0$ y la recta $r \equiv x - 1 = \frac{y}{2} = \frac{z + 1}{5}$.

a)

Halla los puntos de $r$ que equidistan de $\pi_1$ y $\pi_2$. (2 puntos)

b)

Halla el seno del ángulo que forma el plano $\pi_1$ con la recta $r$. (0,5 puntos)