Examen de Matemáticas II PAU Andalucía 2023 · Ordinaria Suplente

EJERCICIO 1. (2,5 puntos)

De entre todos los rectángulos de diagonal 10 cm (cada una), calcula las dimensiones del que tiene mayor área.

EJERCICIO 2. (2,5 puntos)

Considera la función $f(x) = \dfrac{1}{x|x|}$, para $x \neq 0$.

a)

[1 punto] Calcula los intervalos de concavidad y de convexidad de $f$, así como los puntos de inflexión de su gráfica, si existen.

b)

[1,5 puntos] Estudia y calcula las asíntotas de la función. Esboza su gráfica.

EJERCICIO 3. (2,5 puntos)

Determina la función $f: (0, +\infty) \to \mathbb{R}$, sabiendo que es dos veces derivable, su gráfica pasa por el punto $(1, 0)$, $f'(e) = e$ y $f''(x) = 2\ln(x) + 1$, para todo $x > 0$ ($\ln$ denota la función logaritmo neperiano).

EJERCICIO 4. (2,5 puntos)

Considera las funciones $f, g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ definidas por $f(x) = |x^2 - 1|$ y $g(x) = x + 5$.

a)

[1,25 puntos] Calcula los puntos de corte de las gráficas de ambas funciones y esboza el recinto que determinan.

b)

[1,25 puntos] Determina el área del recinto anterior.

u²

EJERCICIO 5. (2,5 puntos)

Sean las matrices

$$A = \begin{pmatrix} m+1 & 1 & m-1 \\ 1 & 1 & 1 \\ m-1 & 1 & m+1 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 0 & 4 & 2 \\ 0 & 0 & 4 \\ 2 & 2 & 1 \end{pmatrix} \quad y \quad C = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}.$$

a)

[1 punto] Calcula $m$ para que la matriz $A$ tenga inversa.

b)

[1,5 puntos] Para $m = 0$, resuelve, si es posible, la ecuación matricial $\frac{1}{2}AX + C^4 = B$.

EJERCICIO 6. (2,5 puntos)

Considera las matrices

$$A = \begin{pmatrix} x & y & z \\ y & x & x \\ z & z & y \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} \alpha & 1 & 1 \end{pmatrix} \quad y \quad C = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}.$$

a)

[1,5 puntos] Discute el sistema $BA = C$, según los valores de $\alpha$.

b)

[1 punto] Resuelve el sistema, si es posible, para $\alpha = 0$ y para $\alpha = 1$.

EJERCICIO 7. (2,5 puntos)

Determina el punto simétrico de $A(2, -4, -3)$ con respecto al plano que contiene a los puntos $B(1, 1, 2)$, $C(0, 1/3, 1)$ y $D(-3, 0, 3)$.

$A'($

,

,

$)

EJERCICIO 8. (2,5 puntos)

Dados los puntos $O(0, 0, 0)$, $A(2, -1, 0)$, $B(3, 0, x)$ y $C(-x, 1, -1)$, los vectores $\vec{OA}$, $\vec{OB}$ y $\vec{OC}$ determinan un paralelepípedo.

a)

[1,5 puntos] Calcula los posibles valores de $x$ sabiendo que el volumen del paralelepípedo es $5$ unidades cúbicas.

b)

[1 punto] Para $x = 1$, halla el área de la cara del paralelepípedo que contiene a los vértices $O$, $A$ y $B$.