Examen de Matemáticas II PAU Andalucía 2019 · Ordinaria Suplente

Ejercicio 1.- [2,5 puntos] Calcula $$\lim_{x \to 0} \frac{\cos(x) - e^{-2x} - 2x}{\operatorname{sen}^2(x)}$$

Ejercicio 2.- [2,5 puntos] Calcula $$\int \ln\left(\frac{x^2+1}{x}\right) dx$$ ($\ln$ denota la función logaritmo neperiano).

Ejercicio 3.- Dadas las matrices

$$A = \begin{pmatrix} 1 & m & 1 \\ m - 1 & m & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \quad \text{y} \quad B = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$

(a)

[1 punto] Calcula los valores de $m$ para los cuales $A$ tiene inversa.

(b)

[1,5 puntos] Para $m = 2$, encuentra la matriz $X$ que cumple $AX - BB^t = I$, siendo $B^t$ la matriz traspuesta de $B$ e $I$ la matriz identidad de orden 3.

Ejercicio 4.- Considera el punto $A(2, 1, 0)$ y los planos $\pi_1 \equiv x + y + z = 0$ y $\pi_2 \equiv x - y + z = 0$.

(a)

[1,25 puntos] Calcula la recta que pasa por $A$ y es paralela a $\pi_1$ y a $\pi_2$.

(b)

[1,25 puntos] Calcula los puntos de la recta $s \equiv \frac{x-1}{2} = \frac{y-2}{3} = \frac{z}{2}$ que equidistan de $\pi_1$ y $\pi_2$.

Ejercicio 1.- [2,5 puntos]

Se sabe que la función $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, dada por$$f(x) = \begin{cases} x^2 - ax + 2b & \text{si } x \le 0 \\ \dfrac{\ln(x + 1)}{x} & \text{si } x > 0 \end{cases}$$(\(\ln\) denota la función logaritmo neperiano) es derivable. Calcula $a$ y $b$.

Ejercicio 2.- [2,5 puntos]

Sean las funciones $f, g: [0, \pi] \to \mathbb{R}$ definidas por $f(x) = \operatorname{sen}(x)$ y $g(x) = \operatorname{sen}(2x)$.

(a)

[1 punto] Esboza sus gráficas en unos mismos ejes coordenados y calcula sus puntos de corte.

(b)

[1,5 puntos] Calcula el área del recinto limitado por ambas gráficas y las rectas $x = 0$ y $x = \dfrac{\pi}{3}$.

Dado el sistema de ecuaciones lineales

$$\begin{cases} mx - y + 13z = 0 \\ 2x - my + 4z = 0 \\ x + y + 7z = 0 \end{cases}$$

a)

[1,5 puntos] Encuentra los valores de $m$ para los que el sistema tiene infinitas soluciones.

b)

[1 punto] Resuelve el sistema para $m = 3$. En este caso, ¿hay alguna solución en la que $x = 10$? Razona tu respuesta.

Ejercicio 4.- Considera los puntos $A(0, 3, -1)$ y $B(0, 1, a)$ y el plano $\pi$ de ecuación $x - y + z = 0$.

(a)

[0,75 puntos] Determina $a$ sabiendo que la recta que pasa por $A$ y por $B$ es paralela al plano $\pi$.

(b)

[0,75 puntos] Halla el punto de corte del plano $\pi$ con la recta que pasa por $A$ y es perpendicular a dicho plano.

(c)

[1 punto] Para $a = 2$, halla el plano que contiene a los puntos $A$ y $B$ y es perpendicular al plano $\pi$.