Examen de Matemáticas II PAU Andalucía 2020 · Examen 6

EJERCICIO 1 (2.5 puntos)

Considera la función $f$ definida por $f(x) = \dfrac{x^2 - 2x - 3}{x^2 - 1}$ para $x \neq 1, -1$.

a)

Estudia y halla las asíntotas de la gráfica de $f$. [1.25 puntos]

b)

Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de $f$. [1.25 puntos]

EJERCICIO 2 (2.5 puntos)

Calcula $a > 0$ sabiendo que el área de la región determinada por la gráfica de la función $f(x) = x e^{3x}$, el eje de abscisas y la recta $x = a$ vale $\dfrac{1}{9}$.

a)

b)

Considera la matriz $$A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & m+2 \\ 0 & 1 & m+1 \\ m & 0 & 5 \end{pmatrix}$$.

a)

Estudia el rango de $A$ según los valores de $m$. [1,5 puntos]

$m_1 =$

$m_2 =$

b)

Para $m = 2$, calcula la inversa de $2020A$. [1 punto]

EJERCICIO 4 (2.5 puntos)

Siendo $a \neq 0$, considera las rectas

$$r \equiv x - 1 = y - 2 = \frac{z - 1}{a} \quad \text{y} \quad s \equiv \frac{x - 3}{-a} = \frac{y - 3}{-1} = \frac{z + 1}{2}$$

a)

Estudia la posición relativa de ambas rectas según los valores de $a$. (1.25 puntos)

b)

Para $a = 2$, determina las ecuaciones de la recta que pasa por el punto de corte de $r$ y $s$ y es perpendicular a ambas. (1.25 puntos)

EJERCICIO 5

Sea $f: [0, 2\pi] \to \mathbb{R}$ la función definida por $f(x) = \dfrac{\operatorname{sen} x}{2 - \cos x}$.

a)

Halla los extremos absolutos de $f$ (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).

b)

Determina la ecuación de la recta tangente y de la recta normal a la gráfica de $f$ en el punto de abscisa $x = \dfrac{\pi}{3}$.

EJERCICIO 6

Sea $f$ la función dada por $f(x) = \dfrac{3x^2 + 4}{(x - 2)^2}$ para $x \neq 2$.

a)

Calcula $\displaystyle\int f(x)\,dx$.

b)

Calcula la primitiva de $f$ cuya gráfica pasa por el punto $(3, 5)$.

EJERCICIO 7 (2.5 puntos)

Considera $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 4 & 1 & 4 \end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} a \\ 2a \\ 3a \end{pmatrix}$ y $X = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$.

a)

Discute el sistema dado por $AX = B$, según los valores de $a$. (1.25 puntos)

b)

Para $a = 0$, resuelve el sistema dado por $AX = B$. Calcula, si es posible, una solución en la que $y + z = 4$. (1.25 puntos)

EJERCICIO 8 (2.5 puntos)

Se considera el punto $A(1, -2, 0)$ y la recta $r \equiv \begin{cases} x + y = 0 \\ y - 3z + 2 = 0 \end{cases}$

a)

Calcula la ecuación del plano que pasa por $A$ y es perpendicular a $r$. (1.25 puntos)

b)

Calcula la ecuación del plano que pasa por $A$ y contiene a $r$. (1.25 puntos)