Examen de Matemáticas II PAU Andalucía 2020 · Examen 5

EJERCICIO 1 (2.5 puntos)

Sea $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ la función definida por $f(x) = (5 - x)e^{x-4}$. Determina los puntos de la gráfica de $f$ cuya recta tangente tiene pendiente máxima.

Considera la función $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ definida por $f(t) = \dfrac{1}{1 + e^t}$

a)

Calcula $\displaystyle \int f(t)\,dt$ (Sugerencia: efectúa el cambio de variable $x = 1 + e^t$). (1.5 puntos)

b)

Se define $g(x) = \displaystyle \int_0^x f(t)\,dt$. Calcula $\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{g(x)}{x}$ (1 punto)

EJERCICIO 3 (2.5 puntos)

Considera el sistema de ecuaciones

$\begin{cases}

-my + z = 1 \\

5x + 2y + mz = 0 \\

my + (m - 3)z = -3

\end{cases}$

a)

Discute el sistema en función de $m$. [1.25 puntos]

b)

Para $m = 0$, resuelve el sistema. Calcula, si es posible, una solución en la que $y = 5$. [1.25 puntos]

EJERCICIO 4 (2.5 puntos)

Considera los puntos $A(1, 0, 1)$, $B(-1, 0, 2)$ y $O(0, 0, 0)$, y la recta

$$r \equiv \begin{cases} x = -1 - \lambda \\ y = \lambda \\ z = 2 \end{cases}$$

a)

Calcula la distancia del punto $A$ a la recta $r$. [1.5 puntos]

b)

Determina el área del triángulo de vértices $A$, $B$ y $O$. [1 punto]

EJERCICIO 5

Se sabe que la función $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ dada por

$$f(x) = ax^3 + bx^2 + cx - 1,$$

tiene un punto crítico en $x = 2$ y que la recta normal a su gráfica en el punto de abscisa $x = 1$ es $y = \frac{1}{2}x + \frac{3}{2}$.

Calcula $a$, $b$ y $c$.

EJERCICIO 6 (2.5 puntos)

Calcula $\displaystyle\int \cos(\ln(x))\,dx$ ($\ln$ denota la función logaritmo neperiano).

EJERCICIO 7 (2.5 puntos)

Considera $A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & m \\ m & 2 & -3 \\ m - 1 & 0 & 4 \end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} 5 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}$ y $C = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$.

a)

Determina los valores de $m$ para los que la ecuación $AX + B = C$ tiene solución única. (1 punto)

Introduce los dos valores de $m$ que anulan el determinante de $A$ (la ecuación tiene solución única para todo $m$ distinto de estos valores):

b)

Para $m = 0$, halla $X$ tal que $AX + B = C$. (1.5 puntos)

Escribe las componentes de la matriz columna $X = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}$:

EJERCICIO 8 (2.5 puntos)

Considera el plano $\pi \equiv 2x - y + z - 3 = 0$, la recta $r \equiv \begin{cases} x = 3 + \lambda \\ y = 1 - 2\lambda \\ z = -2 - \lambda \end{cases}$ y el punto $P(1, 1, 2)$.

a)

Determina la ecuación general del plano perpendicular a $\pi$, paralelo a $r$ y que pasa por el punto $P$. (1.25 puntos)

b)

Calcula el punto simétrico de $P$ respecto de la recta $r$. (1.25 puntos)

(

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)