Examen de Matemáticas II PAU Andalucía 2020 · Examen 4

EJERCICIO 1 (2.5 puntos)

Considera la función $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ dada por $f(x) = e^x(x^2 - 5x + 6)$. Determina los intervalos de concavidad y de convexidad de $f$ y los puntos de inflexión de su gráfica.

Calcula $\displaystyle \int_0^\pi x \operatorname{sen}^2(x)\,dx$.

Considera el sistema de ecuaciones dado por $AX = B$ siendo

$$A = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 \\ m & 4 & -2 \\ 0 & m+2 & -3 \end{pmatrix}, \quad X = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \quad \text{y} \quad B = \begin{pmatrix} 2 \\ 2m \\ 1 \end{pmatrix}.$$

a)

Discute el sistema según los valores de $m$.

[1.5 puntos]

b)

Para $m = -2$, ¿existe alguna solución con $z = 0$? En caso afirmativo, calcúlala. En caso negativo, justifica la respuesta.

[1 punto]

Considera el plano $\pi \equiv x - y + az = 0$ y la recta $r \equiv \begin{cases} 4x - 3y + 4z = 1 \\ 3x - 2y + z = 0 \end{cases}$

a)

Halla $a$ sabiendo que $\pi$ es paralelo a $r$. [1,5 puntos]

b)

Determina el plano perpendicular a $r$ que pasa por el punto $P(1, 2, 3)$. [1 punto]

EJERCICIO 5 (2.5 puntos)

Sea la función derivable $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ definida por

$$f(x) = \begin{cases} e^{2ax-4b} & \text{si } x < 1 \\ 1 - x\ln x & \text{si } x \ge 1 \end{cases}$$

($\ln$ denota la función logaritmo neperiano).

a)

Determina los valores de $a$ y $b$. [1.75 puntos]

b)

Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de $f$ en el punto de abscisa $x = 2$. [0.75 puntos]

EJERCICIO 6 (2.5 puntos)

Considera las funciones $f, g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ definidas por $f(x) = |x|$ y $g(x) = x^2 - 2$.

a)

Calcula los puntos de corte de las gráficas de $f$ y $g$. Esboza el recinto que determinan. [1 punto]

b)

Determina el área del recinto anterior. [1.5 puntos]

Considera $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}$ y $X = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$.

a)

Halla los valores de $\lambda$ tales que $|A - \lambda I| = 0$, donde $I$ es la matriz identidad de orden 3. [1,25 puntos]

b)

Para $\lambda = 1$, resuelve el sistema dado por $(A - \lambda I)X = 0$. ¿Existe alguna solución tal que $z = 1$? En caso afirmativo, calcúlala. En caso negativo, justifica la respuesta. [1,25 puntos]

Sí

No

EJERCICIO 8 (2.5 puntos)

Considera el plano $\pi \equiv x - y + z = 2$ y la recta $r \equiv \dfrac{x}{2} = \dfrac{y + 1}{1} = \dfrac{z + 2}{-1}$.

a)

Calcula la distancia entre $r$ y $\pi$. [1 punto]

b)

Halla la ecuación general del plano perpendicular a $\pi$ que contiene a $r$. [1.5 puntos]