Examen de Matemáticas II PAU Andalucía 2020 · Examen 2

EJERCICIO 1 (2.5 puntos)

Sabiendo que $\lim_{x\to 0} \frac{x e^x - \ln(1+x) - (a+1)x}{x^2}$ es finito, calcula $a$ y el valor del límite ($\ln$ denota la función logaritmo neperiano).

EJERCICIO 2 (2.5 puntos)

Determina la función $f: (-1, +\infty) \to \mathbb{R}$, sabiendo que es dos veces derivable, su gráfica pasa por el punto $(0, 1)$, $f'(0) = 0$ y $f''(x) = \frac{1}{x+1}$.

EJERCICIO 3 (2.5 puntos)

Considera el sistema de ecuaciones:

$\begin{cases}

ax + y + z = 1 \\

x + ay + z = a \\

x + y + az = a^2

\end{cases}$

a)

Discútelo según los valores de $a$. (1.75 puntos)

b)

Resuelve, si es posible, el sistema para $a = 1$ y $a = -2$. (0.75 puntos)

Considera el punto $P(1, 0, -1)$ y la recta $r \equiv \begin{cases} x - y + 2z = 5 \\ x - z = 1 \end{cases}$

a)

Determina el punto simétrico de $P$ respecto de la recta $r$.

[1,5 puntos]

(

,

,

)

b)

Calcula el punto de la recta $r$ que dista $\sqrt{6}$ unidades de $P$.

[1 punto]

(

,

,

)

EJERCICIO 5 (2.5 puntos)

Sea $f$ la función definida por $f(x) = \frac{|x|}{2-x}$ para $x \neq 2$.

a)

Estudia la derivabilidad de $f$. [1.25 puntos]

b)

Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de $f$. [1.25 puntos]

Considera las funciones $f, g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ definidas por $f(x) = -4x + 2$ y $g(x) = -x^2 + 2x + c$.

a)

Halla el valor de $c$ sabiendo que sus gráficas se cortan en el punto en el que $g$ alcanza su máximo. (1 punto)

b)

Para $c = -3$, calcula el área de la región limitada por ambas gráficas. (1.5 puntos)

EJERCICIO 7 (2.5 puntos)

Considera la matriz $A = \begin{pmatrix} -\frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\[1ex] \frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2} \end{pmatrix}$.

a)

Calcula $A^{37}$ y $A^{41}$. [1.5 puntos]

b)

Halla el determinante de la matriz $3A^{52}(A^t)^4$, donde $A^t$ es la matriz traspuesta de $A$. [1 punto]

EJERCICIO 8 (2.5 puntos)

Considera los vectores $\vec{u} = (2, 1, 0)$, $\vec{v} = (1, 0, -1)$ y $\vec{w} = (a, b, 1)$.

a)

Halla $a$ y $b$ sabiendo que los tres vectores son linealmente dependientes y que $\vec{w}$ es ortogonal a $\vec{u}$. [1.5 puntos]

b)

Para $a = 1$, calcula el valor o valores de $b$ para que el volumen del paralelepípedo formado por dichos vectores sea de 6 unidades cúbicas. [1 punto]