Examen de Matemáticas II PAU Andalucía 2020 · Examen 1

EJERCICIO 1 (2.5 puntos)

Calcula $a$ sabiendo que $\lim_{x\to 0} \left( \dfrac{1}{\ln(1-x)} - \dfrac{ax-1}{x} \right) = \dfrac{7}{2}$ ($\ln$ denota la función logaritmo neperiano).

$a =$

EJERCICIO 2 [2,5 puntos]

Sea $f$ la función definida por $f(x) = \frac{-x^3 + 2x - 3}{x^2 - x}$ para $x \neq 0$, $x \neq 1$. Halla la primitiva de $f$ cuya gráfica pasa por el punto $(2, 3\ln 2)$, donde $\ln$ denota la función logaritmo neperiano.

EJERCICIO 3 (2.5 puntos)

Considera $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & a & b \\ c & 1 & 4 \end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ y $C = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}$. Determina $a$, $b$ y $c$, sabiendo que $AB = C$ y la matriz $A$ tiene rango 2.

Considera el tetraedro de vértices $A(0, 0, 0)$, $B(1, 1, 0)$, $C(0, 1, 3)$ y $D(1, 0, 3)$.

a)

Calcula el volumen de dicho tetraedro. (1 punto)

b)

Calcula la medida de la altura trazada desde el vértice $A$ de dicho tetraedro. (1.5 puntos)

EJERCICIO 5

Una familia desea acotar una zona rectangular en el jardín de su casa para dedicarla al cultivo ecológico. Para ello dispone de 96 metros de valla, pero necesita dejar una abertura de 4 metros en uno de los laterales para instalar una puerta. Determina las dimensiones de la zona rectangular de área máxima que puede acotarse de esta manera y el valor de dicha área.

m

m

m²

EJERCICIO 6 (2.5 puntos)

Calcula $\int \ln(x^2 + 2x + 2)\,dx$ donde $\ln$ denota la función logaritmo neperiano.

(Sugerencia: efectúa el cambio de variable $t = x + 1$).

EJERCICIO 7 (2.5 puntos)

Siendo $\lambda$ un número real, considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas

$\begin{cases}

x + \lambda y = 2 \\

2x + 4y = 1 \\

\lambda x + y = 2\lambda

\end{cases}$

Discútelo según los valores de $\lambda$ y resuélvelo cuando sea posible.

1. Discusión del sistema

2. Resolución para $\lambda = 1$

$x =$

$y =$

3. Resolución para $\lambda = -1$

$x =$

$y =$

EJERCICIO 8 (2.5 puntos)

Considera los puntos $A(-1, 3, 2)$, $B(2, -1, -1)$ y $C(a - 2, 7, b)$.

a)

Determina $a$ y $b$ para que los puntos $A$, $B$ y $C$ estén alineados.

[1.25 puntos]

b)

En el caso $a = b = 1$, halla la recta que pasa por el origen de coordenadas y es perpendicular al plano que contiene a los puntos $A$, $B$ y $C$.

[1.25 puntos]