Examen de Matemáticas II PAU Andalucía 2020 · Examen 3

EJERCICIO 1 [2.5 puntos]

Considera la función $f$ definida por $f(x) = \frac{x^3}{x^2 - 1}$ para $x \neq 1, -1$.

a)

Estudia y halla las asíntotas de la gráfica de $f$. [1.25 puntos]

b)

Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de $f$. [1.25 puntos]

Determina la única función derivable $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ que cumple que $f(0) = 1$, $f'(0) = 1$ y $f''(x) = e^x(x + 2)$. [2,5 puntos]

a)

b)

Considera $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & m \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$, $X = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$ y $C = \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 3 \end{pmatrix}$.

a)

Determina los valores de $m$ para los que $AB$ no tiene inversa. [0,75 puntos]

b)

Determina los valores de $m$ para los que $BA$ no tiene inversa. [0,75 puntos]

c)

Para $m = 0$, resuelve, si es posible, el sistema dado por $BAX = C$ y halla una solución en la que $x + y + z = 0$. [1 punto]

EJERCICIO 4 (2.5 puntos)

Considera los puntos $A(t, 2, -1)$, $B(0, 1, 1)$, $C(-1, 0, 2)$ y $D(2, 3, -t - 1)$.

a)

Calcula el valor o valores de $t$ para que el volumen del tetraedro de vértices $A, B, C, D$ sea $5$ unidades cúbicas. (1.25 puntos)

b)

Para $t = 0$, calcula la distancia del punto $A$ a la recta determinada por los puntos $B$ y $C$. (1.25 puntos)

EJERCICIO 5

Se sabe que la función $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ dada por $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ tiene un punto crítico en $x = 0$, que su gráfica pasa por $(0, 3)$ y que la recta $y = -2x + 2$ es tangente a dicha gráfica en el punto de abscisa $x = 1$. Calcula $a$, $b$, $c$ y $d$.

EJERCICIO 6 (2.5 puntos)

Calcula el valor de $a > 0$ para que el área comprendida entre la parábola $y = 3x^2 - 2ax$ y el eje de abscisas sea $4$ unidades cuadradas.

Considera las matrices $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$ y $B = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 2 & 0 \end{pmatrix}$.

a)

Sabiendo que una matriz $X$ verifica que $X^3 A X = B^2$, halla los posibles valores de su determinante. [1 punto]

b)

Determina, si existe, una matriz $Y$ que verifique $A^2 Y B^{-1} = A$. [1.5 puntos]

$y_{11} =$

$y_{12} =$

$y_{21} =$

$y_{22} =$

EJERCICIO 8 (2.5 puntos)

Considera el punto $A(0, 1, -2)$ y los planos $\pi_1 \equiv 2x - y - z + 5 = 0$ y $\pi_2 \equiv x + 5y - 6z - 4 = 0$.

a)

Halla el punto simétrico de $A$ respecto de $\pi_1$. [1,5 puntos]

$A' = ($

,

,

$)$

b)

Determina la recta que pasa por $A$ y es paralela a $\pi_1$ y $\pi_2$. [1 punto]

Expresa un vector director $\vec{v} = (v_x, v_y, v_z)$ de la recta (o equivalente simplificado):

$\vec{v} = ($

,

,

$)$