Examen de Matemáticas II PAU Andalucía 2019 · Reserva B

Ejercicio 1.- [2,5 puntos] Dada la función $f: (0, 2\pi) \to \mathbb{R}$, definida por $f(x) = \mathrm{sen}(x) + \cos(x)$, calcula sus máximos y mínimos relativos y los puntos de inflexión de la gráfica de $f$ (abscisas en los que se obtienen y valores que se alcanzan).

$x =$

, $y =$

$x =$

, $y =$

Primer punto de inflexión: $x_1 =$

, $y_1 =$

Segundo punto de inflexión: $x_2 =$

, $y_2 =$

Sea $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ la función dada por

$$f(x) = \begin{cases} -x^2 + 6x - 8 & \text{si } x \le 4 \\ x^2 - 6x + 8 & \text{si } x > 4 \end{cases}$$

(a)

[1,5 puntos] Calcula los puntos de corte entre la gráfica de $f$ y la recta $y = 2x - 4$. Esboza el recinto que delimitan la gráfica de $f$ y la recta.

$($

$,$

$)$

$($

$,$

$)$

(b)

[1 punto] Calcula el área del recinto anterior.

Ejercicio 3.- Dadas las matrices

$$A = \begin{pmatrix} 1 & m & 1 \\ m - 1 & m & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ k \end{pmatrix} \quad \text{y} \quad X = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$$

(a)

[1,25 puntos] Estudia el rango de $A$ según los valores de $m$.

(b)

[1,25 puntos] Sabiendo que para $m = 1$ el sistema dado por $AX = B$ tiene solución, encuentra $k$ y resuélvelo.

$x =$

$y =$

$z =$

Ejercicio 4.- Considera la recta $r \equiv \dfrac{x-4}{2} = \dfrac{y}{1} = \dfrac{z-1}{5}$ y el plano $\pi \equiv 2x + y - z + 3 = 0$.

a)

[1,25 puntos] Halla la ecuación general del plano perpendicular a $\pi$ que contiene a $r$.

b)

[1,25 puntos] Calcula la distancia entre $r$ y $\pi$.

Ejercicio 1.- [2,5 puntos]

Considera la función $f$ definida por

$$f(x) = \frac{ax + b}{cx + 1} \quad \text{para } cx + 1 \neq 0.$$

Determina $a$, $b$ y $c$ sabiendo que la recta $x = -1$ es una asíntota vertical a la gráfica de $f$ y que $y = 2x + 4$ es la recta tangente a la gráfica de $f$ en el punto de abscisa $x = 1$.

Ejercicio 2.- [2,5 puntos] Considera la función $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ dada por $f(x) = -4x^2 + a$, siendo $a > 0$ un número real.

a)

Esboza el recinto limitado por la gráfica de $f$ y la recta $y = 0$.

b)

Calcula $a$ sabiendo que el área del recinto es 18.

Ejercicio 3.- [2,5 puntos]

Considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales:

$\begin{cases}

mx + (m+1)z = m \\

my + z = m \\

y + mz = m

\end{cases}$

(a)

[1,75 puntos] Discute el sistema según los valores de $m$.

(b)

[0,75 puntos] Resuélvelo, si es posible, para $m = 1$.

Ejercicio 4.- Se consideran los puntos $A(0, -1, 3)$, $B(2, 3, -1)$ y la recta $r \equiv \dfrac{x+2}{1} = \dfrac{y-2}{2} = \dfrac{z-3}{3}$.

a)

[1,25 puntos] Halla un punto $C$ de $r$ de forma que el triángulo $ABC$ sea rectángulo en $A$.

$x =$

$,\quad y =$

$,\quad z =$

b)

[1,25 puntos] Calcula los puntos de $r$ que equidistan de los puntos $A$ y $B$.

$x =$

$,\quad y =$

$,\quad z =$