Examen de Matemáticas II PAU Andalucía 2019 · Ordinaria Titular

Considera la función $f$ definida por $$f(x) = \frac{x^2 + 3x + 4}{2x + 2} \quad \text{para } x \neq -1.$$

(a)

[1,5 puntos] Estudia y halla las asíntotas de la gráfica de $f$.

Considera la función $f$ definida por $$f(x) = \frac{x^2 + 3x + 4}{2x + 2} \quad \text{para } x \neq -1.$$

(b)

[1 punto] Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de $f$.

Ejercicio 2.- [2,5 puntos] Sea la función $f: (0,+\infty) \to \mathbb{R}$ definida por $f(x) = \dfrac{1 + e^x}{1 - e^x}$. Halla la primitiva de $f$ cuya gráfica pasa por el punto $(1, 1)$. (Sugerencia: cambio de variable $t = e^x$).

Ejercicio 3.- [2,5 puntos] Calcula todas las matrices $X = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ tales que $a + d = 1$, tienen determinante 1 y cumplen $AX = XA$, siendo $A = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$.

Primera solución $X_1$:

$a$:

$b$:

$c$:

$d$:

Segunda solución $X_2$:

$a$:

$b$:

$c$:

$d$:

Ejercicio 4.- Considera la recta $r \equiv \dfrac{x-2}{-1} = \dfrac{y-2}{3} = \dfrac{z-1}{1}$ y los planos $\pi_1 \equiv x = 0$ y $\pi_2 \equiv y = 0$.

(a)

[1,25 puntos] Halla los puntos de la recta $r$ que equidistan de los planos $\pi_1$ y $\pi_2$.

x = y = z =

x = y = z =

(b)

[1,25 puntos] Determina la posición relativa de la recta $r$ y la recta intersección de los planos $\pi_1$ y $\pi_2$.

Considera la función $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ definida por $f(x) = (x - a)e^x$.

(a)

[1,25 puntos] Determina $a$ sabiendo que la función tiene un punto crítico en $x = 0$.

(b)

[1,25 puntos] Para $a = 1$, calcula los puntos de inflexión de la gráfica de $f$.

Considera las funciones $f: (-2, +\infty) \to \mathbb{R}$, definida por $f(x) = \ln(x + 2)$ ($\ln$ denota la función logaritmo neperiano) y $g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, definida por $g(x) = \frac{1}{2}(x - 3)$.

(a)

[1 punto] Esboza el recinto que determinan la gráfica de $f$, la gráfica de $g$, la recta $x = 1$ y la recta $x = 3$. (No es necesario calcular los puntos de corte entre las dos gráficas).

(b)

[1,5 puntos] Determina el área del recinto anterior.

u²

Ejercicio 3.- [2,5 puntos] Dadas las matrices

$$A = \begin{pmatrix} 2 - m & 1 & 2m - 1 \\ 1 & m & 1 \\ m & 1 & 1 \end{pmatrix}, \quad X = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 2m^2 - 1 \\ m \\ 1 \end{pmatrix},$$

considera el sistema de ecuaciones lineales dado por $X^t A = B^t$, donde $X^t, B^t$ denotan las traspuestas. Discútelo según los distintos valores de $m$.

Considera el triángulo cuyos vértices son los puntos $A(1, 1, 0)$, $B(1, 0, 2)$ y $C(0, 2, 1)$.

(a)

[1,25 puntos] Halla el área de dicho triángulo.

(b)

[1,25 puntos] Calcula el coseno del ángulo en el vértice $A$.