Examen de Matemáticas II PAU Andalucía 2019 · Reserva A

Ejercicio 1.- Según un determinado modelo, la concentración en sangre de cierto medicamento viene dada por la función $C(t) = t e^{-t/2}$ mg/ml, siendo $t$ el tiempo en horas transcurridas desde que se le administra el medicamento al enfermo.

(a)

[2 puntos] Determina, si existe, el valor máximo absoluto de la función y en qué momento se alcanza.

(b)

[0,5 puntos] Sabiendo que la máxima concentración sin peligro para el paciente es $1$ mg/ml, señala si en algún momento del tratamiento hay riesgo para el paciente.

Ejercicio 2.- [2,5 puntos] Dado un número real $a > 0$, considera la función $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, dada por $f(x) = x^2 - ax$, y la recta $y = 2ax$. Determina $a$ sabiendo que el área del recinto limitado por la gráfica de $f$ y la recta anterior es $36$.

Ejercicio 3.- [2,5 puntos] Dada la matriz $$A = \begin{pmatrix} 5 & 4 & 3 \\ 4 & 2 & 2 \\ 3 & 2 & 1 \end{pmatrix},$$ halla la matriz $X$ que cumple $$AX = (A^{-1}A^t + I)^2,$$ siendo $A^t$ la matriz traspuesta de $A$ e $I$ la matriz identidad de orden 3.

Ejercicio 4.- Considera la recta

$$r \equiv \begin{cases} x + y + 2 = 0 \\ -y + z + 5 = 0 \end{cases}$$

y el plano $\pi \equiv 2x + y - mz = 1$.

(a)

[1,25 puntos] Calcula $m$ sabiendo que $r$ y $\pi$ son paralelos.

(b)

[1,25 puntos] Para $m = -1$, calcula la distancia entre $r$ y $\pi$.

Dada $f:(1, e) \rightarrow \mathbb{R}$ la función definida por $f(x) = \dfrac{1}{x} + \ln(x)$ ($\ln$ denota la función logaritmo neperiano), determina la recta tangente a la gráfica de $f$ que tiene pendiente máxima.

Ejercicio 2.- Sea $f: \left[0, \frac{\pi}{6}\right] \rightarrow \mathbb{R}$ una función continua y sea $F$ la primitiva de $f$ que cumple $F(0) = \frac{\pi}{3}$ y $F\left(\frac{\pi}{6}\right) = \pi$. Calcula:

(a)

[1 punto] $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{6}} (3f(x) - \cos(x))\,dx$

(b)

[1,5 puntos] $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{6}} \operatorname{sen}(F(x))f(x)\,dx$

Considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales

$$\begin{cases} x + \lambda y + z = 4 \\ -\lambda x + y + z = 1 \\ x + y + z = \lambda + 3 \end{cases}$$

(a)

[1,5 puntos] Discute el sistema según los valores de $\lambda$.

(b)

[1 punto] Resuelve el sistema, si es posible, para $\lambda = 1$. (Usa $t$ como parámetro libre si es necesario).

Ejercicio 4.- [2,5 puntos] Halla cada uno de los puntos de la recta $r \equiv \begin{cases} x - y = 0 \\ y - z = 0 \end{cases}$ de manera que junto con los puntos $A(1, 1, 0)$, $B(1, 0, 1)$ y $C(0, 1, 1)$ formen un tetraedro de volumen $\dfrac{5}{6}$.

Punto 1:

Punto 2: