Exercício 6 · Exame Nacional Matemática B 1.ª fase 2021

O António guarda, como recordação, uma bola de vidro, esférica e maciça, dentro de uma caixa cúbica. A bola é tangente à superfície interior de todas as faces da caixa.

A Figura 6 mostra, em referencial ortogonal e monométrico, $Oxyz$, um esquema da bola dentro da caixa. Neste esquema, que não está à escala, a bola está representada por uma esfera e a caixa pelo cubo $[ABCDEFGH]$.

Sabe-se que:

a esfera está inscrita no cubo;

a origem do referencial coincide com o centro do cubo;

os eixos $Ox$, $Oy$ e $Oz$ intersectam as faces do cubo nos centros das mesmas;

o vértice $D$ tem coordenadas $(-10,-10,10)$.

A unidade do referencial é o centímetro.

Devido à fragilidade do vidro, o António preencheu todo o espaço vazio da caixa com um material de amortecimento.

Determine o volume que o material de amortecimento ocupa no interior da caixa cúbica onde o António guarda a bola, considerando desprezável a espessura da caixa.

Apresente o resultado em centímetros cúbicos, arredondado às unidades.

Em cálculos intermédios, se proceder a arredondamentos, conserve, no mínimo, quatro casas decimais.