Exercício 4 - Trigonometria e fenómenos periódicos · Exame Nacional Matemática B 1.ª fase 2021

O António, quando se desloca ao mercado municipal de Matosinhos para vender os seus produtos agrícolas, utiliza a ponte móvel entre Leça da Palmeira e Matosinhos, no porto de Leixões. A Figura 1 é uma fotografia dessa ponte.

A ponte tem dois tabuleiros, geometricamente iguais, com apoios nas margens do rio Leça, que se movem, permitindo a passagem de barcos.

A Figura 2, que não está à escala, esquematiza a situação.

Considere o tabuleiro móvel situado na margem norte, representado por $[RP]$ na Figura 3.

Nesta figura, que não está à escala:

o ponto $Q$ situa-se na estrada de acesso à ponte, na margem norte;

o ponto $O$ é o ponto que pertence à estrada e ao tabuleiro móvel, e representa um dos apoios;

os pontos $P$ e $R$ acompanham o movimento do tabuleiro, enquanto o ponto $O$ se mantém fixo.

Seja $\alpha$ a amplitude, em graus, do ângulo $QOP$.

Admita que, para cada valor de $\alpha$, a altura, $h$, em metros, do ponto $P$ em relação ao nível da superfície da água, considerando o nível médio do mar, é dada por

$$h(\alpha) = 46 \operatorname{sen}(\alpha) + 10{,}7 \quad, \text{ com } 90^\circ \le \alpha \le 180^\circ$$ O argumento da função seno está em graus.

4.1.

Determine o valor de $\alpha$ para o qual a altura do ponto $P$ em relação ao nível da superfície da água é igual a $25$ metros.

Apresente o resultado em graus, arredondado às unidades.

Em cálculos intermédios, se proceder a arredondamentos, conserve, no mínimo, duas casas decimais.

°

4.2.

O vão desta ponte é a distância entre os dois apoios, representada por $v$ no esquema da Figura 4, que não está à escala.

Determine o vão da ponte.