Aufgabe WTR 2 - 1c - Funktionen und ihre Eigenschaften: U… · Abitur NRW Mathematik LK · Teil B · Analysis (WTR) 2025

Gegeben ist die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f: x \mapsto 5x \cdot \mathrm{e}^{-x}$.

Abbildung 1 zeigt den Graphen $G$ von $f$.

Abbildung 2 zeigt eine Figur, die modellhaft das Wappen eines Sportvereins beschreibt.

Die Begrenzungslinien der Figur werden durch einen Teil der Gerade mit der Gleichung $y = 5$ sowie durch die Kurvenstücke $H_1$ und $H_2$ beschrieben:

$H_1$ entsteht, indem $G$ für $x \in [\ln 5; 5]$ an der Gerade mit der Gleichung $y = x$ gespiegelt wird.

$H_2$ entsteht durch Spiegeln von $H_1$ an der Gerade mit der Gleichung $x = \ln 5$.

Der Punkt $S(\ln 5 \mid \ln 5)$ ist gemeinsamer Punkt von $H_1$ und $H_2$.

Betrachtet wird die in $[1;+\infty[$ definierte Funktion $h$ mit $h(x) = f(x)$.

c

Begründen Sie, dass die Funktion $f$ nicht umkehrbar, die Funktion $h$ jedoch umkehrbar ist. Geben Sie den Definitions- und den Wertebereich der Umkehrfunktion von $h$ an. [6 BE]